פעולות על סדרה הנדסית - האם זו סדרה הנדסית? - למורה
חומר לימוד:
תרגול מתקדם בנושא תכונות סדרה הנדסית. ביסוס והעמקה של:
- הגדרת סדרה הנדסית
- הוכחה שסדרה נתונה היא סדרה הנדסית
- תכונות של סדרה הנדסית
כיתה:
כיתה י"א
מבנה המשימה:
בעיית מטרה ושתי מדרגות.
ידע קודם:
בנושא סדרה הנדסית:
- ידע התחלתי של הגדרת סדרה הנדסית
- תכונות של סדרה הנדסית
טכניקה אלגברית:
- פירוק לגורמים
מטרות לימודיות:
- פיתוח מיומנויות הוכחה שסדרה היא סדרה הנדסית
- הבנה כי: כדי להוכיח שסדרה היא סדרה הנדסית לא מספיק לבצע בדיקה של איברים עוקבים מסוימים אלא יש להוכיח זאת עבור איבר כללי.
- פיתוח הבנה כי: כדי להוכיח שטענה כללית נכונה יש לבנות הוכחה כללית וכדי להפריך טענה כללית מספיקה דוגמא נגדית.
- תזכורת: אם טענה נכונה היא נכונה עבור כל מקרה פרטי המתאים לנתונים בה. אם קיים מקרה בו מתקיימים הנתונים, אך התכונה המתוארת בטענה לא מתקיימת בו, וקיימים מקרים אחרים בהם היא מתקיימת, הרי שהטענה אינה נכונה.
- במקרים רבים מועיל לבדוק מקרים פרטיים, כדי: או למצוא דוגמה להפרכה או להעלות השערה שצריך להוכיח אותה.
משימת המטרה:
נתונה סידרה הנדסית: \(a_1\space ,\space a_2\space ,\space a_3\space ,\space a_4, \space a_5 \space ,…\) , ונתונות שלוש סדרות כלליות, כל אחת מורכבת מצירוף אחר של איברי הסדרה הנתונה. יש להוכיח או להפריך את הטענה, כי כל אחת מהסדרות החדשות היא הנדסית.
מדרגה 1:
נתונה סידרה הנדסית: \(a_1\space ,\space a_2\space ,\space a_3\space ,\space a_4, \space a_5 \space ,…\) , ונתונות שתי סדרות כלליות המורכבות מאיברי הסדרה הנתונה. יש להוכיח בכל אחד מהמקרים, שהסדרה היא הנדסית או להפריך טענה זו. בשאלה זו הורדה רמת הקושי על-ידי מתן איברים פשוטים יותר בתוספת שאלות מנחות.
מדרגה 2:
שאלה מספרית. נתונה סדרה הנדסית ונתון האיבר הכללי שלה. ונתונות שתי סדרות המורכבות מאיברי הסדרה הנתונה. יש להוכיח בכל אחד מהמקרים, שהסדרה היא הנדסית או להפריך טענה זו.
שיטת הוראה:
בכיתה:
עבודה של התלמידים (ביחידים, זוגות או קבוצות):
תלמידים מנתבים את עצמם למדרגות השונות הניתנות לכל סעיף במשימה, ו/ או המורה מנתב את התלמידים בהתאם להיכרותו אותם, בהתאם לקשיים שמתעוררים וקצב ההתקדמות.
דיון כיתתי:
הצגת הפתרונות וההסברים על ידי התלמידים.
הדגשת הרעיונות המתמטיים שהוזכרו כאן בסעיף דגשים ומטרות.
שימוש ביישומונים:
אין
שיעורי בית:
השלמת המשימה, ו/או משימות נוספות באתר בנושא סדרות הנדסיות.
משימות מומלצות:
בעיית מטרה
נתונה סדרה הנדסית: \(a_1\space ,\space a_2\space ,\space a_3\space ,\space a_4, \space a_5 \space ,…\) , המנה של הסדרה היא \(q\).
\(k\) מספר טבעי.
בכל אחד מהסעיפים הבאים קבעו האם הסדרה החדשה היא בהכרח סדרה הנדסית.
אם כן, הוכיחו שהסדרה החדשה היא הנדסית. אם לא, נמקו תשובתכם.
- \(a_1 \cdot a_3\space ,\space a_2 \cdot a_4\space ,\space a_3 \cdot a_5\space ,\space a_4 \cdot a_6\space ,\space a_5 \cdot a_7\space ,\space a_6 \cdot a_8\space ,\space …\)
- \(a_1+a_{1+k}\space ,\space a_{1+k}+a_{1+2k}\space ,\space a_{1+2k}+a_{1+3k}\space ,\space a_{1+3k}+a_{1+4k}\space ,\space …\)
- \(a_1-a_2\space ,\space a_2-a_4\space ,\space a_4-a_8\space ,\space a_8-a_{16}\space ,\space a_{16}-a_{32}\space ,\space …\)
- במידת הצורך פתרו את הבעיות במדרגה 1.
מדרגה 1
נתונה סדרה הנדסית: \(a_1\space ,\space a_2\space ,\space a_3\space ,\space a_4\space ,\space a_5 \space ,…\).
בונים באמצעותה שתי סדרות חדשות:
סדרה 1: \(a_1+a_3\space ,\space a_3+a_5\space ,\space a_5+a_7\space ,\space a_7+a_9\space ,\space …\)
סדרה 2: \(a_1+a_2\space ,\space a_2+a_4\space ,\space a_4+a_8\space ,\space a_8+a_{16}\space ,\space …\)
- רשמו את שלושת האיברים הראשונים בכל אחת מהסדרות החדשות בעזרת \(a_1\) ו- \(q\).
- השלימו את החסר. האיבר הכללי בכל אחת מהסדרות הוא: \(a_{m}+a_{?}\).
- האם סדרה 1 היא הנדסית? אם כן, הוכיחו ובטאו את המנה שלה באמצעות \(q\). אם לא, נמקו את תשובתכם.
- האם סדרה 2 היא הנדסית? אם כן, הוכיחו ובטאו את המנה שלה באמצעות \(q\). אם לא, נמקו את תשובתכם.
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 1, פתרו את בעיית המטרה.
- או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 2.
מדרגה 2
נתונה סדרה הנדסית: \(a_n=3^{n-4}\).
בונים באמצעותה שתי סדרות חדשות:
סדרה 1: \(a_1+a_3\space ,\space a_3+a_5\space ,\space a_5+a_7\space ,\space a_7+a_9\space ,\space …\)
סדרה 2: \(a_1+a_2\space ,\space a_2+a_4\space ,\space a_4+a_8\space ,\space a_8+a_{16}\space ,\space …\)
- חשבו את שלושת האיברים הראשונים של כל אחת מהסדרות החדשות.
- על סמך חישוביכם בסעיף א, האם ניתן להוכיח כי הסדרות החדשות הן הנדסיות?
- השלימו את החסר: האיבר הכללי בכל אחת מהסדרות הוא: \(a_{m}+a_{?}\).
- האם סדרה 1 היא הנדסית? אם כן, הוכיחו ומצאו את המנה שלה. אם לא, נמקו את תשובתכם.
- האם סדרה 2 היא הנדסית? אם כן, הוכיחו ומצאו את המנה שלה. אם לא, נמקו את תשובתכם.
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 2, פתרו את בעיית המטרה.