הקשר בין גרף פונקציה לגרף הנגזרת שלה – המקרה של פולינום

מדרגה 3

פונקציה 1

לפניכם גרף של פונקציה  \(f_{1}{(x)}\)

function-derivative--pic07

נקודות חיתוך עם הצירים:
\((6 ,0)\) , \((0 ,0)\) , \((-6 ,0)\)
נקודות קיצון: מקסימום: \((-3.5 ,4.2)\) מינימום: \((3.5 ,-4.2)\)

סעיף א

מטרתכם: לסרטט סקיצה לגרף הנגזרת.

תוכלו להיעזר ביישומון. גררו את הנקודה המסומנת על פני גרף הפונקציה ובחנו את שיפועי המשיקים.

נסו לבנות גרף נגזרת, תוך התייחסות לתכונות של הגרף:

  1. שיפועי המשיקים,
  2. תחומי החיוביות והשליליות שלו,
  3. תחומי העלייה והירידה שלו (ככל שתוכלו לדייק).

תוכלו להיעזר בטבלה הבאה לאיסוף נתונים:

הפונקציה \(f_{1}{(x)}\)

\(x\)

\(f{(x)}\)

שיפוע המשיק

הנקודה \((x , f'{(x)})\)

באמצעות אוסף הנקודות שרשמתם, בנו במחברתכם גרף שמתאר את "פונקציית שיפועי המשיקים" – גרף הנגזרת הראשונה.

סעיף ב

בדקו את עצמכם: סרטטו את גרף הנגזרת באמצעות היישומון ובדקו את ההתאמה לתשובתכם.

סעיף ג

תארו את גרף הנגזרת שקיבלתם מבחינת:

  1. תחומי החיוביות והשליליות שלו.
  2. תחומי העליה והירידה שלו (ככל שתוכלו לדייק).

סעיף ד

הסיקו מסקנות ככל שתוכלו:

  1. מה מתרחש בגרף הנגזרת כאשר לפונקציה יש נקודת קיצון?
  2. כיצד אפשר להבחין בין נקודת מינימום לנקודת מקסימום של הפונקציה לפי גרף הנגזרת?
  3. מה קורה בפונקציה כאשר לנגזרת יש נקודת חיתוך עם ציר x?

יישומון לפונקציה 1

  • כאשר גוררים את הנקודה האדומה, המסומנת על הגרף, ניתן לראות כיצד נע איתה המשיק לגרף הפונקציה, וכך לחזות בשיפועיו המשתנים.
  • מתוך מחסן הנקודות יש לגרור נקודות למקומות המתאימים להן לתאור הפונקציה המבוקשת.
  • יש להיעזר בעיפרון שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה המבוקשת.
  • ניתן לבצע בדיקה לקבלת משוב.
  • למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בתפריט העליון.
  • כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.

פונקציה 2

חזרו שוב על המשימה הקודמת עבור פונקציה \(f_{2}{(x)}\) המתוארת בגרף הבא:

function-derivative--pic08

נקודות חיתוך עם הצירים:
\((6 ,0)\) , \((0 ,0)\) , \((-3 ,0)\) , \((-6 ,0)\)
נקודות קיצון: מקסימום:\((-1.4 ,0.8)\) מינימום: \((4 ,-5.6)\) , \((-4.8 ,-1.1)\)

שערו כיצד נראה גרף הנגזרת לפני השימוש ביישומון.

לאחר שתסרטטו את גרף הנגזרת, השתמשו ביישומון ובדקו השערתכם.

תוכלו, גם כאן, כמובן, להשתמש בטבלה שמופיעה בשאלה 1.

הקפידו לענות שוב על כל השאלות שמופיעות בשאלה 1. 

יישומון לפונקציה 2