זה הסכום שלי - האם אני סדרה חשבונית? - למורה

משימה לתלמיד

דף למורה

מבנה המשימה

יישומונים

  • – – – – –

חומר לימוד:

אפיון נוסחת הסכום של סדרה חשבונית  

במשימה מאפיינים את נוסחת הסכום של איברים ראשונים בסדרה חשבונית כפונקציה ריבועית חסרה. האפיון מתבצע באמצעות דוגמאות שניתנות להכללה מהירה. הדוגמאות מבהירות את ההבדל בין ההפרש הראשון לבאים אחריו באמצעות הדגשה של "תחום ההגדרה" של הנוסחה: \(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\). השימוש בנוסחה זו נכון רק החל ב: \(n=2\) 

כיתה:

כיתה י"א

מבנה המשימה:

בעיית מטרה אחת ושתי מדרגות.

ידע קודם:

הכרות עם המושגים בנושא סדרה חשבונית: איבר ראשון, הפרש, נוסחת האיבר הכללי ונוסחת הסכום של איברים ראשונים.

מטרות לימודיות:

אפיון נוסחת הסכום של סדרה חשבונית כפונקציה ריבועית חסרה. הפעילות מצמיחה את ההבחנה בין ההפרש הראשון לבין שאר ההפרשים בסדרה, כפי שמתקבלים משימוש בנוסחת סכום נתונה כלשהי.

משימת המטרה:

נתונות שלוש נוסחאות לסכום איברים ראשונים של סידרה.

מדרגה 1:

נתונות נוסחאות לסכום איברים ראשונים של סידרה. כל הנוסחאות הן פונקציה ריבועית, אחת מהן פונקציה ריבועית חסרה.

מדרגה 2:

נתונות שתי נוסחאות לסכום איברים ראשונים של סידרה. אחת מהן פונקציה ריבועית ואחת פונקציה ריבועית חסרה. ישנה הכוונה.

שיטת הוראה:

בכיתה:

עבודה עצמאית או בזוגות. המורה יציג את בעיית המטרה. התלמיד יכול לבחור את המדרגה המתאימה עבורו.

יישומונים:

אין

בעיית מטרה

סעיף א 

לפניכם נוסחאות הסכום של \(n\) איברים ראשונים בשלוש סדרות כלשהן.

חשבו, עבור כל אחת מהן את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה.

  1.  \(S_{n}=3n^2-n\)
  2.  \(S_{n}=3n^2-\large\frac{1}{n}\)
  3.  \(S_{n}=3n^2-n+5\)

סעיף ב

קבעו האם נכונות הטענות הבאות:

  1. כל אחד מהסכומים מקיים: \(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\) לכל \(n\) טבעי. נמקו.
  2. נוסחת הסכום של \(n\) איברים בסדרה חשבונית היא פונקציה ריבועית ב-\(n\).
    וכל פונקציה ריבועית ב-\(n\) מתאימה לתאר סכום של \(n\) איברים ראשונים בסדרה חשבונית.
  • במידת הצורך פתרו את הבעיות במדרגה 1.

מדרגה 1

  1. נתונים הכללים הבאים המגדירים את הסכומים של \(n\) האיברים הראשונים בשלוש סדרות: 
    (1)  \(S_n=n^2-n+6\)
    (2)  \(S_n=2n^2-n-8\)
    (3)  \(S_n=4n^2-n+2\)
    (4)  \(S_n=n^2-2n\)
    רשמו עבור כל אחד מהם את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה.
    האם הסדרות שהתקבלו חשבוניות?
  2. אפיינו את הפונקציה המתארת סכום של \(n\) איברים ראשונים בסדרה, כאשר הסדרה היא חשבונית.
  • אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 1, פתרו את בעיית המטרה.
  • או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 2.

מדרגה 2

ענו על הבעיות הבאות: 

  1. חשבו את ארבעת האברים הראשונים בסדרה שמקיימת את הכלל: \(S_n=2n^2-n\)
  2. מהו, האיבר במקום החמישי? במקום השישי? האם עד כה ההפרשים קבועים?
  3. מצאו, בעזרת הנוסחה לסכום, כלל שמגדיר את האיבר במקום ה-\(n\).
  4. האם, לדעתכם, הסדרה חשבונית? הוכיחו טענתכם.
  5. חשבו את ארבעת האברים הראשונים בסדרה שמקיימת את הכלל: \(S_n=n^2-n+6\)
  6. מצאו כלל שמגדיר את האיבר במקום ה-\(n\).
  7. האם הכלל מתאים לכל איבר בסדרה? (לכל \(n\) טבעי?)
  8. האם, לדעתכם, הסדרה חשבונית? הוכיחו טענתכם.