פעולות על סדרה חשבונית - האם זו סדרה חשבונית? - למורה

משימה לתלמיד

דף למורה

מבנה המשימה

יישומונים

  • – – – – –

חומר לימוד:

ביסוס והעמקה של:

    • הגדרת סדרה חשבונית
    • הוכחה שסדרה נתונה היא סדרה חשבונית
    • תכונות של סדרה חשבונית

כיתה:

כיתה י"א

מבנה המשימה:

בעיית מטרה אחת ובה ארבעה סעיפים, ושלוש מדרגות.

ידע קודם:

בנושא סדרה חשבונית:

    • ידע התחלתי של הגדרת סדרה חשבונית
    • תכונות של סדרה חשבונית

טכניקה אלגברית:

    • פירוק לגורמים

מטרות לימודיות:          

  • פיתוח מיומנויות הוכחה שסדרה היא סדרה חשבונית.
  • הבנה כי: כדי להוכיח שסדרה היא סדרה חשבונית לא מספיק לבצע בדיקה של ההפרש בין איברים עוקבים מסוימים אלא יש להוכיח הוכחה כללית.
  • פיתוח הבנה כי: כדי להוכיח שטענה כללית נכונה יש לבנות הוכחה כללית וכדי להפריך טענה כללית מספיקה דוגמה נגדית.
  • תזכורת: אם טענה נכונה היא נכונה עבור כל מקרה פרטי המתאים לנתונים בה. אם קיים מקרה בו מתקיימים הנתונים, אך התכונה המתוארת בטענה לא מתקיימת בו, וקיימים מקרים אחרים בהם היא מתקיימת, הרי שהטענה אינה נכונה.
  • במקרים רבים מועיל לבדוק מקרים פרטיים כדי למצוא דוגמה להפרכה או להעלות השערה שצריך להוכיח אותה.

משימת המטרה:

ארבעה סעיפים, בכל סעיף יש להחליט האם הסדרה הנתונה חשבונית ולנמק.

מדרגה 1:

שני סעיפים, בכל סעיף פעולה שהופעלה על סדרה חשבונית כלשהי ויש לקבוע האם הסדרה החדשה חשבונית. הפעולות במדרגה 1 פשוטות יותר מאלה שבבעיית המטרה.

מדרגה 2:

שלושה סעיפים, בכל סעיף פעולה שהופעלה על סדרה חשבונית שהפרשה נתון ויש לקבוע האם הסדרה החדשה חשבונית.

מדרגה 3:

שתי שאלות:

שאלה ראשונה מתייחסת לעיקרון כיצד יש להוכיח שסדרה היא חשבונית.

בשאלה שניה הפרש הסדרה נתון וכן במקום הפרמטרים שבבעיית המטרה, מופיעים מספרים.

שיטת הוראה:

בכיתה:

עבודה של התלמידים: (יחידים, זוגות או קבוצות):

תלמידים מנתבים את עצמם למדרגות השונות שניתנות במשימה, ו/ או המורה מנתב את התלמידים בהתאם להיכרותו אותם, בהתאם לקשיים שמתעוררים וקצב ההתקדמות.

דיון כיתתי:

הצגת הפתרונות וההסברים על ידי התלמידים.

הדגשת הרעיונות המתמטיים שהוזכרו כאן בסעיף מטרות לימודיות.

שימוש ביישומונים:  

אין.

משימות מומלצות:

בעיית מטרה

נתונה סדרה חשבונית: \(a_1\space ,\space a_2\space ,\space a_3\space ,\space a_4 \space ,…\)

הפרש הסדרה הוא \(d\), ונתון פרמטר \(k \ne 0\)

בכל אחד מהסעיפים הבאים מצאו האם הסדרה החדשה היא בהכרח סדרה חשבונית.

אם כן, הוכיחו שאכן הסדרה חשבונית ומצאו את הפרשה (בטאו בעזרת \(k\), ו-\(d\) במידת הצורך), אם לא, נמקו.

  1. \(ka_1-2k\space ,\space ka_2-3k\space ,\space ka_3-4k\space ,\space ka_4-5k\space ,\space …\)
    \(\space\)
  2. \(ka_1\space ,\space 2ka_2\space ,\space 3ka_3\space ,\space 4ka_4\space ,\space …\)
    \(\space\)
  3. \(a_1\cdot a_3\space ,\space a_3\cdot a_5\space ,\space a_5\cdot a_7\space ,\space …\)
    \(\space\)
  4. \((a_2)^2-(a_1)^2\space ,\space (a_3)^2-(a_2)^2\space ,\space (a_4)^2-(a_3)^2\space ,\space …\)
  • במידת הצורך פתרו את הבעיות במדרגה 1.

פתרונות לבעיית המטרה

  1. כן, ההפרש: \(k(d-1)\)
  2. לא
  3. לא
  4. כן, ההפרש: \(2d^2\)

מדרגה 1

נתונה סדרה חשבונית: \(a_1\space ,\space a_2\space ,\space a_3\space ,\space a_4 \space ,…\)

הפרש הסדרה הוא \(d\), ונתון פרמטר \(k \ne 0\)

בכל אחד מהסעיפים הבאים מצאו האם הסדרה החדשה היא בהכרח סדרה חשבונית.

אם כן, הוכיחו שאכן הסדרה חשבונית ומצאו את הפרשה (בטאו בעזרת \(k\), ו-\(d\) במידת הצורך), אם לא נמקו תשובתכם.

  1. \(a_1-k\space ,\space a_2-2k\space ,\space a_3-3k\space ,\space a_4-4k\space ,\space …\)
    \(\space\)
  2. \(a_1\cdot a_2\space ,\space a_2\cdot a_3\space ,\space a_3\cdot a_4\space ,\space …\)
  • אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 1, פתרו את בעיית המטרה.
  • או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 2.

מדרגה 2

נתונה סדרה חשבונית: \(a_1\space ,\space a_2\space ,\space a_3\space ,\space a_4 \space ,…\)

הפרש הסדרה הוא \(4\), ונתון פרמטר \(k \ne 0\)

בכל אחד מהסעיפים הבאים מצאו האם הסדרה החדשה היא בהכרח סדרה חשבונית.

אם כן, הוכיחו שאכן הסדרה חשבונית ומצאו את הפרשה (בטאו בעזרת \(k\), ו-\(d\) במידת הצורך), אם לא נמקו תשובתכם.

  1. \(a_1-k\space ,\space a_2-2k\space ,\space a_3-3k,\space …\space ,\space a_m-m \cdot k\space ,\space …\)
    \(\space\)
  2. \(a_1\cdot a_2\space ,\space a_2\cdot a_3\space ,\space a_3\cdot a_4\space ,\space …\)
    \(\space\)
  3. \((a_2)^2-(a_1)^2\space ,\space (a_3)^2-(a_2)^2\space ,\space (a_4)^2-(a_3)^2\space ,\space …\)
  • אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 2, פתרו את בעיית המטרה.
  • או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 3.

מדרגה 3

סעיף א

נתונה סדרה חשבונית: \(a_1\space ,\space a_2\space ,\space a_3\space ,\space a_4 \space ,…\)

  1. תלמיד הראה כי: \(a_2-a_1=a_3-a_2\). האם ניתן להסיק שהסדרה היא חשבונית? נמקו תשובתכם.
    \(\space\)
  2. תלמיד הראה כי: \(a_2-a_1 \ne a_3-a_2\). האם ניתן להסיק שהסדרה אינה חשבונית? נמקו תשובתכם.
    \(\space\)
  3. תלמיד הראה כי: מספר קבוע\(a_{m+1}-a_m=\) , לכל \(m\) טבעי. האם ניתן להסיק שהסדרה היא חשבונית? נמקו תשובתכם.

סעיף ב

נתונה סדרה חשבונית: \(a_1\space ,\space a_2\space ,\space a_3\space ,\space a_4 \space ,…\). הפרש הסדרה הוא \(4\).

בכל אחד מהסעיפים הבאים מצאו האם הסדרה החדשה היא בהכרח סדרה חשבונית.

אם כן, הוכיחו שאכן הסדרה חשבונית ומצאו את הפרשה. אם לא, נמקו תשובתכם.

  1. \(a_1-5 \space ,\space a_2-2\cdot 5 \space ,\space a_3-3\cdot 5 \space ,\space …\space ,(a_m-m\cdot 5)\space ,\space …\)
    \(\space\)
  2. \(6 \cdot a_1\space ,\space 12 \cdot a_2\space ,\space 18 \cdot a_3\space ,\space 24 \cdot a_4\space ,\space …\)
    \(\space\)
  3. \((a_2)^2-(a_1)^2\space ,\space (a_3)^2-(a_2)^2\space ,\space …,\space (a_{m+1}-a_m)\cdot(a_{m+1}+a_m)\space ,\space …\)