קשרים בין הפונקציה \(f(x)\) לבין פונקציית השורש הריבועי \(\sqrt{f(x)}\) - חלק א'

מדרגה 1

לפניכם 2 גרפים של פונקציות \(p_n{(x)}\). 

\(p_1{(x)}\)

\(p_2{(x)}\)

תחום הגדרה: כל \(x\)

נקודות חיתוך עם הצירים: \((1,0)\) , \((0,1)\)

נקודת מינימום: \((1,0)\)

תחום הגדרה: כל \(x\)

נקודות חיתוך עם הצירים: \((1,0)\) , \((0,0)\) , \((-1,0)\)

נקודות קיצון: מקסימום: \((-0.6,0.4)\) , מינימום: \((0.6,-0.4)\)

סעיף א

לכל אחד מהגרפים של \(p_n{(x)}\), סרטטו באותה מערכת צירים, את גרף הפונקציה \(\sqrt{p_n{(x)}}\).

שימו לב גם למצב ההדדי בין הפונקציות \(p_n{(x)}\) ו- \(\sqrt{p_n{(x)}}\)

תוכלו לסרטט ולבדוק תשובותיכם בעזרת היישומון המצורף.

סעיף ב

נתונה פונקציה \(f{(x)}\) כלשהי.

ענו על השאלות הבאות, בכל סעיף נמקו תשובתכם:

  1. מה הקשר ביו תחום ההגדרה של \(\sqrt{f(x)}\) לתכונות הפונקציה \(f(x)\)?
  2. מה הקשר בין נקודות הקיצון וסוגן של \(\sqrt{f(x)}\) לתכונות הפונקציה \(f(x)\)?
  3. באילו מקרים הפונקציות \(f(x)\) ו- \(\sqrt{f(x)}\) נחתכות, ומה ניתן להסיק ביחס לשיעורי נקודות החיתוך בין הפונקציות?
  4. באילו מקרים גרף הפונקציה \(\sqrt{f(x)}\) יהיה כולו מתחת לגרף פונקציה \(f(x)\)?
  5. נתון כי בתחום \(a<x<b\) מתקיים: \(0<f(x)<1\).
    מה המצב ההדדי בין \(f(x)\) ל- \(\sqrt{f(x)}\) בתחום זה?
  6. האם הפונקציה \(h(x)=\sqrt{x^2}\) מתלכדת עם הפונקציה \(k(x)=x\)?

תוכלו להיעזר ביישומונים הדינאמיים המצורפים לבדיקת תשובותיכם.

  • אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 1, פתרו את בעיית המטרה.
  • או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 2.

יישומון

  • מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות במקומות המתאימים להן.
  • יש להיעזר בעיפרון שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה.
  • ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות.
  • כדי לעבור לפונקציה האחרת יש ללחוץ על שנה פונקציה, בכפתור הצהוב בתפריט שבתחתית היישומון.
  • במידת הצורך, ניתן להציג שיקוף של הנקודה האדומה על ידי בחירה של האפשרות המתאימה בתפריט שבתחתית היישומון: שיקוף בציר ה-\(x\) או בציר ה-\(y\).
  • למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בתפריט העליון.
  • כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.

יישומון לסעיף ב – פולינום דינאמי

  • ניתן להזיז את הפרבולה הזזה אופקית ואנכית בעזרת גרירת הנקודה הכתומה.
  • ניתן לשנות את הגרף הנתון על-ידי: שינוי הפרמטרים \(k\) , \(d\) , \(n\) בעזרת סרגלי הגרירה. (נסו תחילה להבין מהי המשמעות של כל אחד מהפרמטרים).
יישומון לסעיף ב – פרבולה דינאמית
  • ניתן להזיז את הפרבולה הזזה אופקית ואנכית בעזרת גרירת הנקודה הורודה.
  • ניתן למתוח את הפרבולה ואף להפוך אותה בעזרת גרירת הנקודה הכחולה.