פעולות על סדרה חשבונית - שתי סדרות

בעיית מטרה

נתונה סדרה חשבונית: \(a_1\space ,\space a_2\space ,\space a_3\space ,\space a_4 \space ,…\) שהפרשה הוא \(d\). 

נתונה סדרה חשבונית נוספת: \(b_1\space ,\space b_2\space ,\space b_3\space ,\space b_4 \space ,…\) שהפרשה הוא \(p\).

בונים מהן סדרה חדשה: \((a_1)^2−(b_1)^2\space,\space(a_2)^2−(b_2)^2\space,\space(a_3)^2−(b_3)^2\space,\space…. \)

האם הסדרה החדשה היא בהכרח סדרה חשבונית?

לפניכם השערתו של אייל:

על מנת לשער השערה האם הסדרה החדשה היא חשבונית, אייל בחר שתי סדרות חשבוניות ובדק את איברי הסדרה החדשה. אייל בחר את שתי הסדרות החשבוניות הבאות:

סדרה ראשונה: \(7\space,\space4\space,\space1\space,\space-2\space,\space-5\space ,…\)

סדרה שניה: \(2\space,\space5\space,\space8\space,\space11\space,\space14\space,…\) 

הסדרה החדשה: \(7^2-2^2\space,\space4^2-5^2\space,\space1^2-8^2\space,\space(-2)^2-11^2\space,\space(-5)^2-14^2\space,\space… \) 

כלומר התקבלה הסדרה: \(45\space,\space-9\space,\space-63\space,\space-117\space,\space-171\space,\space  …\)

וזו סדרה חשבונית שהפרשה \(-54\).

לכן ההשערה של אייל היא שהסדרה החדשה: \((a_1)^2-(b_1)^2\space,\space(a_2)^2-(b_2)^2\space,\space(a_3)^2-(b_3)^2\space,\space…\) היא סדרה חשבונית.

  1. האם ההשערה של אייל נכונה?
    האם ניתן להוכיח שלכל שתי סדרות חשבוניות \(b_n\) ו- \(a_n\) 
    הסדרה החדשה: \((a_1)^2-(b_1)^2\space,\space(a_2)^2-(b_2)^2\space,\space(a_3)^2-(b_3)^2\space,\space…\) בהכרח חשבונית? נמקו תשובתכם.
  2. באילו מקרים מיוחדים הסדרה החדשה תהיה חשבונית? נמקו תשובתכם.
  • במידת הצורך פתרו את הבעיות במדרגה 1.