נקודת מפגש התיכונים וחותכים אחרים - הוכחות באמצעות שטחים

בעיית מטרה

חותכים דמויי תיכונים – הכללה

במשולש \(ABC\) הנקודה \(E\) מחלקת את הצלע \(BC\) כך: \(\large\frac{BE}{BC}\normalsize=\large\frac{1}{n}\).

הנקודה \(D\) מחלקת את הצלע \(AB\) כך: \(\large\frac{BD}{BA}\normalsize=\large\frac{1}{n}\).

הקטעים \(CD\) ו- \(AE\) נחתכים בנקודה \(F\).

bisectors-and-intersectors--pic01a
  1. בטאו באמצעות \(n\) את היחס בו מחלקת הנקודה \(F\) את הקטעים \(AE\) ו- \(CD\).
  2. הוכיחו כי הנקודה \(F\) נמצאת על התיכון מהנקודה \(B\).
  3. הסיקו מהנ"ל כי: שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת, ונקודה זו מחלקת כל תיכון ביחס 2:1, כך שהחלק הארוך קרוב לקודקוד.