אסימפטוטות או "חורים" בפונקציות מנה - חלק ב' - למורה
חומר לימוד:
חקירה של משפחות של פונקציות רציונאליות שמאפשרות נקודות אי-רציפות סליקה ("חור").
החקירות במשימה מזמנות פיתוח מיומנות של הבחנה בין נקודות אי-רציפות בהן יש אסימפטוטה אנכית לבין נקודות בהן יש "חורים", לפי בחינת הקשר בין איפוס מכנה לאיפוס מונה.
כיתה:
כיתה י"א
מבנה המשימה:
בעיית מטרה ושתי מדרגות. לבעיית המטרה יש ישומון בו ניתן להיעזר לצורך החקירה.
ידע קודם:
- מיומנויות חקירה של פונקציה
- זיהוי אפסים של מונה ומכנה
- חקירת ביטוי ריבועי לפי פרמטר
- זיהוי אסימפטוטות אנכיות ואופקיות, זיהוי "חורים" – נקודות אי-רציפות סליקות
מטרות לימודיות:
- הבחנה בין אסימפטוטה אנכית לבין נקודת אי-רציפות סליקה – "חור"
- חקירה עם פרמטר בדגש על מספר אפסים של ביטוי ריבועי והשפעתו על פונקציה רציונאלית (איפוס מונה, איפוס מכנה)
הערה:
לנושא זה עוד שתי משימות, אסימפטוטות או "חורים" בפונקציית מנה, חלק א' וחלק ג'.
משימת המטרה:
נתונה פונקציית מנה. המונה ממעלה ראשונה, המכנה ממעלה שניה ומופיע פרמטר.
מדרגה 1:
נתונה פונקציית מנה. המונה ממעלה ראשונה, המכנה ממעלה שניה, מפורק לגורמים ומופיעים בפרמטרים.
מדרגה 2:
נתונות ארבע פונקציות מנה, ללא פרמטרים.
אם עונים על הבעיות במדרגות, נוגעים בכל הסוגיות המובילות לפתרון בעיית המטרה.
שיטת הוראה:
בכיתה:
עבודה בזוגות או בקבוצות. הכוונה למדרגות השונות ע"י המורה או לפי רצונו של התלמיד.
שימוש ביישומונים:
קיים יישומון לבעיית המטרה.
שיעורי בית:
ניתן לתת את חלקים א' וג' כשיעורי בית. או להתחיל באחד מהחלקים האחרים ולתת את חלק ב' כשיעורי בית.
משימות מומלצות:
בעיית מטרה
נתונה משפחת הפונקציות: \(f(x)=\Large\frac{x-2}{x^2-bx+4}\) , \(b\) פרמטר.
מצאו במשפחה הנתונה, במידת האפשר, בהתאם לערכים שונים של הפרמטר:
- פונקציה בעלת שתי אסימפטוטות אנכיות.
- פונקציה שאינה קבועה וללא אסימפטוטות אנכיות כלל.
- פונקציה בעלת אסימפטוטה אנכית אחת בלבד ונקודת אי-הגדרה נוספת, בה אין אסימפטוטה אנכית.
- פונקציה בעלת אסימפטוטה אנכית אחת בלבד וללא נקודת אי-הגדרה נוספת.
סרטטו סקיצות מתאימות לפונקציה במקרים הבאים: \(b=4\) , \(b=-4\).
בחקירתכם: תוכלו לבדוק תשובותיכם באמצעות היישומון המצורף.
הקפידו לוודא שכל חלקי הגרף מופיעים על המסך.
- במידת הצורך פתרו את הבעיות במדרגה 1.
מדרגה 1
נתונה משפחת הפונקציות: \(g(x)=\Large\frac{x+3}{(x-a)(x-b)}\)
מצאו במשפחה הנתונה, במידת האפשר, בהתאם לערכים שונים של הפרמטרים:
- פונקציה בעלת שתי אסימפטוטות אנכיות.
- פונקציה בעלת אסימפטוטה אנכית אחת בלבד ונקודת חיתוך את עם ציר ה-x.
- פונקציה בעלת אסימפטוטה אנכית אחת בלבד וללא נקודה חיתוך עם ציר ה-x.
- פונקציה ללא אסימפטוטות אנכיות.
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 1, פתרו את בעיית המטרה.
- או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 2.
\(t(x)=\Large\frac{x}{x^2-7x-8}\)
\(g(x)=\Large\frac{x}{x^2-2x}\)
\(h(x)=\Large\frac{x}{x^2-2x+1}\)
\(f(x)=\Large\frac{x}{x^2+x+1}\)
ענו על השאלות הבאות:
- למי מהפונקציות יש שתי אסימפטוטות אנכיות?
- למי מהפונקציות יש אסימפטוטה אנכית אחת?
- למי מהפונקציות אין אסימפטוטות אנכיות?
- למי מהפונקציות יש שני איפוסי מכנה שאחד מהם משותף למונה ולמכנה? מה קורה בנקודת האיפוס המשותפת?
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 2, פתרו את בעיית המטרה.