גיאומטריה אנליטית: מקבילית ומעגל - למורה

משימה לתלמיד

דף למורה

מבנה המשימה

יישומונים

  • – – – – –

חומר לימוד:

הישר, משוואת המעגל ומשיק למעגל. שאלת סיכום, המתאימה גם לחזרה לקראת בחינות הבגרות.

כיתה:

כיתה י"ב

מבנה המשימה:

בעיית מטרה אחת, שלוש בעיות מדרגה ושאלת אתגר.

ידע קודם:                     

  • מרחק בין שתי נקודות
  • אמצע קטע
  • חלוקה קטע ביחס נתון
  • משוואת ישר
  • מרחק בין נקודה לישר
  • מרחק בין ישרים מקבילים
  • שטח מקבילית
  • שטח משולש
  • תכונות מקבילית
  • משוואת מעגל
  • תכונות משיק למעגל

מטרות לימודיות:

תרגול המושגים שנלמדו בגאומטריה אנליטית על ידי פתרון שאלה מורכבת, הדורשת תכנון של שלבי הפתרון.

משימת המטרה:

מתמקדת במציאת מרחק נקודה מישר על בסיס ידע בגאומטריה, ומציאת הנקודה כשידוע מרחק הנקודה מישר ומשוואת הישר. מציאת משוואת המעגל.

מדרגה 1:

מציאת מרחק נקודה מישר, מציאת שיעורי הנקודה, מציאת משוואת מעגל.

מדרגה 2:

מציאת שיעורי נקודה על פי מרחקה מישר.

מדרגה 3:

מציאת שיעורי נקודה על פי חלוקת קטע ביחס נתון, ומציאת שיעורי קודקוד רביעי של מקבילית.

שיטת הוראה:

בכיתה:

תלמידים יעבדו בזוגות, כל התלמידים ייחשפו תחילה לבעיית המטרה. תוך כדי העבודה בכיתה המורה ינחה את התלמידים אל בעיות המדרגה, בהתאם להתקדמותם, בהתאם לקשיים שיתקלו במהלך עבודתם, ו/או בהתאם לבקשתם. תלמידים שסיימו את בעיית המטרה ניתן להפנותם לשאלת האתגר.

רצוי לערוך דיון כיתתי בו יעלו התלמידים את הקשיים בהם נתקלו (אם היו) בפתרון השאלה ויציגו דרכים שונות לפתרון. לדוגמא: כדאי להראות דרך מעניינת למציאת הנקודה \(E\) בבעיית המטרה. מוצאים את היחס בין שטח המקבילית לשטח משולש \(AED\) ומתוך כך מסיקים מהו אורך הגובה של משולש \(AED\) היוצא מקודקוד \(E\), או: אפשר להיעזר בתכונות קטע אמצעים או בדמיון משולשים (כאשר מעבירים אנכים לצלע \(AD\) מנקודות \(E\) ו-\(C\)).

שימוש ביישומונים:

אין

שיעורי בית:

כל תלמיד ייעזר בבעיות המדרגה בהתאם לצרכיו. את שאלת האתגר ניתן לתת גם כשיעורי בית.

בעיית מטרה

\(ABCD\) היא מקבילית ששטחה 18 יחידות שטח.

נתון כי: \(A(2,6)\) , \(D(-1,3)\).

נקודה \(E\) היא אמצע הצלע \(CD\).

שיפוע הישר \(AE\) הוא 4.

מצאו את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה \(B\) והוא משיק לישר \(AD\) (מצאו את כל האפשרויות). 

פתרונות לבעיית המטרה

\((x-6)^2+(y-4)^2=18\)     או     \((x-10)^2+(y-20)^2=18\)

מדרגה 1

\(ABCD\) היא מקבילית ששטחה 18 יחידות שטח.

נתון כי: \(A(2,6)\) , \(D(-1,3)\).

נקודה \(E\) היא אמצע הצלע \(CD\).

שיפוע הישר \(AE\) הוא 4.

מצאו את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה \(E\) ומשיק לישר \(AD\).

מצאו את כל האפשרויות. 

  • אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 1, פתרו את בעיית המטרה.
  • או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 2.

מדרגה 2

נתון משולש \(\triangle {KLM}\), כך ש: \(L(-1,3)\) , \(K(2,6)\).

הנקודה \(M\) נמצאת על הישר \(y=4x-2\) ומרחקה של נקודה \(M\) מצלע \(LK\) הוא \(\Large\frac{3\sqrt{2}}{2}\).

מצאו את שיעורי נקודה \(M\).

מצאו את כל האפשרויות. 

  • אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 2, פתרו את בעיית המטרה.
  • או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 3.

מדרגה 3

נתונה מקבילית \(KLNP\), כך ש: \(L(-1,3)\) , \(K(2,6)\).

נקודה \(F\) היא אמצע הצלע \(LN\) ושיעוריה: \(F(1,2)\).

מצאו את שיעורי נקודה \(P\). 

בעיית אתגר

\(ABCD\) מקבילית ששטחה 33 יחידות שטח.

נתון כי: \(C(-1,9)\) , \(D(-4,3)\). 

נקודה \(K\) נמצאת על הצלע \(AD\), כך ש: \(AK=2\cdot{DK}\).

שיפוע הישר \(CK\) הוא \(\Large\frac{17}{3}\).

  1. מצאו את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה \(K\), המשיק לישר \(DC\).
  2. מצאו את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה \(B\), המשיק לישר \(DC\), כאשר נתון כי: \(y_{B}<15\).

פתרונות לבעיית אתגר

  1. \((x+2)^2+(y-\Large\frac{10}{3}\normalsize)^2=\Large\frac{121}{45}\)     או      \(x^2+(y-\Large\frac{44}{3}\normalsize)^2=\Large\frac{121}{45}\)
    \(\space\)
  2. \((x-5)^2+(y-10)^2=\Large\frac{121}{5}\)