פונקציה מעריכית מורכבת \(e^{f{(x)}}\) - חלק א' - למורה
חומר לימוד:
סרטוט הגרף של הפונקציה \(e^{f{(x)}}\), כאשר נתון גרף הפונקציה \(f{(x)}\).
כיתה:
כיתה י"ב
מבנה המשימה:
בעיית מטרה ושלוש מדרגות. בכל אחת מהבעיות יש יישומונים.
ידע קודם:
- הפונקציה \(e^{x}\).
- תכונות של פונקציה כמו: נקודות חיתוך עם הצירים, נקודות קיצון וסוגן, תחומי עליה וירידה, תחומי חיוביות ושליליות, נקודות פיתול, אסימפטוטות מאונכות לצירים, התנהגות פונקציה בקצה תחום הגדרה.
מטרות לימודיות:
- אפיון קשרים בין תכונות גרף של פונקציה \(f{(x)}\) לבין תכונות הגרף של הפונקציה \(e^{f{(x)}}\). החקר מתבצע לפי גרף וללא ביטוי של הפונקציה \(f{(x)}\).
- בדיקת הקשרים בהסתמך על תכונות הפונקציה: \(e^x\) וללא נגזרת.
משימת המטרה:
בעיית מטרה ובה שתי פונקציות מורכבות.
מדרגה 1:
גרפים של שתי פונקציות \(f{(x)}\). על התלמיד לסרטט גרף של הפונקציה \(e^{f{(x)}}\). בגרף אחד הדגש הוא על אסימפטוטה אופקית, אסימפטוטה אנכית ונקודת אי הגדרה. בגרף שני הדגש הוא על נקודת פיתול ואסימפטוטה אופקית.
מדרגה 2:
גרפים של שתי פונקציות \(f{(x)}\). על התלמיד לסרטט גרפים של הפונקציה \(e^{f{(x)}}\) עבור כל אחד מהם. הדגש הוא על נקודות קיצון ואסימפטוטה אופקית.
מדרגה 3:
נתונים שלושה גרפים של פונקציות \(f{(x)}\). על התלמיד להתאים לכל גרף את הגרף של \(e^{f{(x)}}\) מבין שישה גרפים נתונים.
שיטת הוראה:
בכיתה:
בעבודת הכיתה תלמידים יעבדו בזוגות. יתחילו בבעיית המטרה. תוך כדי העבודה בכיתה, בהתאם להתקדמות התלמידים, ובהתאם לקשיים שיתקלו במהלך עבודתם, יעברו למדרגות השונות. תלמיד יכול להיעזר במורה לצורך התאמת המדרגה – משימה לפתרון, או לבחור בעצמו.
שימוש ביישומונים:
בכל בעיה ובכל שלב, השימוש ביישומונים הוא לצורך בדיקה, לאחר שתלמיד חשב על השאלה והגיע למסקנות הנידרשות. אם תלמיד טעה, או לא ידע, שימוש ביישומונים יכול לעזור לו. בכל מקרה חשוב שתלמיד יידע לנמק את תשובותיו לאחר שנעזר ביישומון.
משימות מומלצות:
\(f_1{(x)}\)
\(f_2{(x)}\)
נקודת קיצון: \((0,-0.25)\)
אסימפטוטות: \(x=2\) , \(x=-2\) , \(y=1\)
נקודת קיצון: \((1.5,1.69)\)
נקודת פיתול: \((0,0)\)
- במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 1.
- יש לבחור את הפונקציה המתאימה ביישומון.
- מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות מלאות במקומות המתאימים להן ואת הנקודות הריקות (אם יש צורך, סימון נקודות אי רציפות סליקה).
- יש לסמן אסימפטוטות (במידה וישנן) על ידי גרירת הנקודה הכחולה שעל הקווים האנכיים/אופקיים (במחסן הנקודות), אל המיקום המתאים.
- יש להיעזר בעיפרון
שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה. - ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות מלאות ובמידת הצורך גם מיקום נקודות ריקות ואסימפטוטות.
- למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים
ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ 
בתפריט העליון. - כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול
שבפינה הימנית העליונה.
- ניתן להזיז את הפרבולה הזזה אופקית ואנכית בעזרת גרירת הנקודה הכתומה.
- ניתן למתוח את הפרבולה ואף להפוך אותה בעזרת גרירת הנקודה הכחולה.
\(f_3{(x)}\)
\(f_4{(x)}\)
תוכלו לסרטט ולבדוק תשובותיכם ביישומון המצורף.
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 1, פתרו את בעיית המטרה.
- או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 2.
- יש לבחור את הפונקציה המתאימה ביישומון.
- מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות מלאות במקומות המתאימים להן ואת הנקודות הריקות (אם יש צורך, סימון נקודות אי רציפות סליקה).
- יש לסמן אסימפטוטות (במידה וישנן) על ידי גרירת הנקודה הכחולה שעל הקווים האנכיים/אופקיים (במחסן הנקודות), אל המיקום המתאים.
- יש להיעזר בעיפרון שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה.
- ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות מלאות ובמידת הצורך גם מיקום נקודות ריקות ואסימפטוטות.
- למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בתפריט העליון.
- כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.
\(f_5{(x)}\)
\(f_6{(x)}\)
נקודות קיצון: \((0.5, -0.6)\) , \((-1.2, 2.1)\)
נקודות קיצון: \((1, 0.7)\) , \((-1, -0.7)\)
אסימפטוטה אופקית : \(y=0\)
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 2, פתרו את בעיית המטרה.
- או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 3.
- יש לבחור את הפונקציה המתאימה ביישומון.
- מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות מלאות במקומות המתאימים להן ואת הנקודות הריקות (אם יש צורך, סימון נקודות אי רציפות סליקה).
- יש לסמן אסימפטוטות (במידה וישנן) על ידי גרירת הנקודה הכחולה שעל הקווים האנכיים/אופקיים (במחסן הנקודות), אל המיקום המתאים.
- יש להיעזר בעיפרון שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה.
- ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות מלאות ובמידת הצורך גם מיקום נקודות ריקות ואסימפטוטות.
- למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בתפריט העליון.
- כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.
גרפים של פונקציות נתונות:
\(f(x)\)
\(h(x)\)
\(t(x)\)
גרפים של פונקציות מעריכיות:
1
2
3
4
5
6
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 3, פתרו את בעיית המטרה.
- ניתן להזיז את הפרבולה הזזה אופקית ואנכית בעזרת גרירת הנקודה הכתומה.
- ניתן למתוח את הפרבולה ואף להפוך אותה בעזרת גרירת הנקודה הכחולה.
- שינוי הערכים של \(a\) ו- \(b\) בסרגלי הגרירה, משנה את ההיפרבולה.