פונקציה מעריכית מורכבת \(e^{f{(x)}}\) - חלק ב' - למורה

משימה לתלמיד

דף למורה

מבנה המשימה

יישומונים

חומר לימוד:

סרטוט הגרפים של הפונקציות \(e^{f{(x)}}\) ,  \(n\) טבעי, כאשר נתון גרף הפונקציה \(f{(x)}\).

משימה לסיכום הנושא, מתאימה להפעלה לאחר המשימה "פונקציה מעריכית מורכבת חלק א' ".

כיתה:

כיתה י"ב

מבנה המשימה: 

בעיית מטרה, שלוש מדרגות ובעיית אתגר. לכולן מצורפים יישומונים.

ידע קודם:       

  • הכרת התכונות של הפונקציה \(e^x\).
  • הכרת הקשרים בין גרף של פונקציה \(f{(x)}\) לבין גרפים של הפונקציות \(f^n{(x)}\) עבור \(n\) זוגי ו-\(n\) אי זוגי.
  • תכונות של פונקציה כמו: נקודות חיתוך עם הצירים, נקודות קיצון וסוגן, תחומי עליה וירידה, תחומי חיוביות ושליליות, נקודות פיתול, אסימפטוטות מאונכות לצירים, התנהגות פונקציה בקצה תחום הגדרה.

 מטרות לימודיות:          

  • אפיון קשרים בין תכונות הגרף של פונקציה \(f{(x)}\) לבין גרף הפונקציה \(e^{f{(x)}}\).
  • אפיון קשרים בין תכונות הגרף של פונקציה \(f{(x)}\) לבין גרף הפונקציה \(e^{f^2{(x)}}\).
  • אפיון קשרים בין תכונות הגרף של פונקציה \(f{(x)}\) לבין גרף הפונקציה \(e^{f^3{(x)}}\).
  • הכללה לגבי קשרים בין תכונות גרף של פונקציה \(f{(x)}\) לבין גרפים של הפונקציות \(e^{f^n{(x)}}\) עבור \(n\) טבעי זוגי ו-\(n\) טבעי אי זוגי.

בבדיקת הקשרים אין הכרח להיעזר בנגזרת. ניתן, לאחר סרטוט הגרף המבוקש, לבדוק את הביטוי הכללי של הנגזרת ולוודא התאמה של תכונותיו למאפייני הגרף שהתקבל.

משימת המטרה:

בבעיית המטרה לפונקציה יש שתי נקודות קיצון, נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-\(x\) ואסימפטוטות אופקית ואנכית. למסיימים את בעיית המטרה ישנן שאלות אתגר.

המדרגות בנויות משאלות הממקדות את תשומת הלב בנקודות מסוימות בבעיית המטרה.

מדרגה 1:

במדרגה 1 לפונקציה יש אסימפטוטות אנכית ואופקית, נקודת חיתוך אחת עם ציר \(x\) ואין לה נקודות קיצון.

מדרגה 2:

במדרגה 2 לפונקציה יש שתי נקודות קיצון, שלוש נקודות חיתוך עם ציר \(x\) ואין לה אסימפטוטות.

מדרגה 3:

במדרגה 3 הפונקציות הן פרבולות אחת בעלת מינימום והשנייה בעלת מקסימום ועל התלמיד לבחור את הגרפים המתאימים להרכבה של הפונקציה \(e^x\) עליהן ועל חזקות שלהן מתוך גרפים נתונים.

המדרגות בנויות משאלות הממקדות את תשומת הלב במאפיינים שמופיעים בבעיית המטרה.

שיטת הוראה:

בכיתה:

התלמידים יעבדו בזוגות, הם ייחשפו תחילה לבעיית המטרה. תוך כדי העבודה בכיתה המורה ינחה את התלמידים להשתמש בבעיות המדרגה, בהתאם להתקדמותם, בהתאם לקשיים בהם ייתקלו במהלך עבודתם, ו/או בהתאם לבקשת התלמידים.

תלמידים שפתרו את בעיית המטרה ללא עזרת המדרגות יכולים להמשיך ולפתור את תרגילי האתגר.

שימוש ביישומונים:

יש

שיעורי בית:

כשיעורי בית ניתן לתת את שאלות האתגר ו/או פתרון כל השאלות שבבעיות המדרגה.

משימות מומלצות:

בעיית מטרה

בסרטוט שלפניכם נתון גרף הפונקציה \(t(x)\).

\(t(x)\)

תחום ההגדרה: \(x≠1\)

נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים הן: \((1.7 ,0)\) , \((0 ,-6.5)\)

נקודות הקיצון: \((4 ,-0.3)\) , \((2 ,-0.5)\)

אסימפטוטות: \(x=1\) , \(y=-0.5\)

  • סרטטו את הגרפים של הפונקציות: \(e^{t{(x)}}\) , \(e^{t^2{(x)}}\) , \(e^{t^3{(x)}}\) במערכות צירים נפרדות.
  • תוכלו לסרטט ולבדוק תשובותיכם בעזרת היישומון המצורף.

יישומון

  • יש לבחור את הפונקציה המתאימה ביישומון.
  • מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות מלאות במקומות המתאימים להן ואת הנקודות הריקות (אם יש צורך, סימון נקודות אי רציפות סליקה).
  • יש לסמן אסימפטוטות (במידה וישנן) על ידי גרירת הנקודה האדומה שעל הקווים האנכיים/אופקיים (במחסן הנקודות), אל המיקום המתאים.
  • יש להיעזר בעיפרון שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה.
  • ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות מלאות ובמידת הצורך גם מיקום נקודות ריקות ואסימפטוטות.
  • כדי לעבור לפונקציה המעריכית \(e^{t^n{(x)}}\) הבאה, יש ללחוץ על החץ בתיבה הכחולה שיופיע בסיום סרטוט תקין.
  • למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בתפריט העליון.
  • כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.

מדרגה 1

בסרטוט שלפניכם נתון גרף הפונקציה \(h(x)\).

\(h(x)\)

תחום ההגדרה: \(x≠1\)

נקודות חיתוך עם הצירים: \((0 ,-0.5)\) , \((-1 ,0)\)

אסימפטוטות: \(x=1\) , \(y=0.5\)

  • סרטטו את הגרפים של הפונקציות: \(e^{h{(x)}}\) , \(e^{h^2{(x)}}\) , \(e^{h^3{(x)}}\) במערכות צירים נפרדות.
  • תוכלו לסרטט ולבדוק תשובותיכם בעזרת היישומון המצורף.
  • אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 1, פתרו את בעיית המטרה.
  • או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 2.

יישומון

  • יש לבחור את הפונקציה המתאימה ביישומון.
  • מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות מלאות במקומות המתאימים להן ואת הנקודות הריקות (אם יש צורך, סימון נקודות אי רציפות סליקה).
  • יש לסמן אסימפטוטות (במידה וישנן) על ידי גרירת הנקודה האדומה שעל הקווים האנכיים/אופקיים (במחסן הנקודות), אל המיקום המתאים.
  • יש להיעזר בעיפרון שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה.
  • ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות מלאות ובמידת הצורך גם מיקום נקודות ריקות ואסימפטוטות.
  • כדי לעבור לפונקציה המעריכית \(e^{h^n{(x)}}\) הבאה, יש ללחוץ על החץ בתיבה הכחולה שיופיע בסיום סרטוט תקין.
  • למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בתפריט העליון.
  • כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.

מדרגה 2

בסרטוט שלפניכם נתון גרף הפונקציה \(f(x)\).

\(f(x)\)

נקודות חיתוך עם הצירים: \((1,0)\) , \((0,0)\) , \((-1,0)\)

נקודות קיצון: \((0.6,-0.4)\) , \((-0.6,0.4)\)

במערכות צירים נפרדות, סרטטו את הגרפים של הפונקציות הבאות:

  1. \(f^3{(x)}\) , \(f^2{(x)}\)
  2. \(e^{f^3{(x)}}\) , \(e^{f^2{(x)}}\) , \(e^{f{(x)}}\)

תוכלו לסרטט ולבדוק תשובותיכם בעזרת היישומון המצורף.

  • אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 2, פתרו את בעיית המטרה.
  • או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 3.

יישומון

  • יש לבחור את הפונקציה המתאימה ביישומון.
  • מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות מלאות במקומות המתאימים להן ואת הנקודות הריקות (אם יש צורך, סימון נקודות אי רציפות סליקה).
  • יש לסמן אסימפטוטות (במידה וישנן) על ידי גרירת הנקודה האדומה שעל הקווים האנכיים/אופקיים (במחסן הנקודות), אל המיקום המתאים.
  • יש להיעזר בעיפרון שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה.
  • ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות מלאות ובמידת הצורך גם מיקום נקודות ריקות ואסימפטוטות.
  • כדי לעבור לפונקציה המעריכית \(e^{f^n{(x)}}\) הבאה, יש ללחוץ על החץ בתיבה הכחולה שיופיע בסיום סרטוט תקין.
  • למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בתפריט העליון.
  • כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.

מדרגה 3

נתונים הגרפים של \(f(x)\) ושל \(h(x)\).

  1. לכל גרף, מבין הגרפים 1-6 הנתונים בהמשך, קבעו האם הוא מתאים לאחת מהפונקציות:
    \(e^{f^3{(x)}}\) , \(e^{f^2{(x)}}\) , \(e^{f{(x)}}\)
    \(e^{h^3{(x)}}\) , \(e^{h^2{(x)}}\) , \(e^{h{(x)}}\)
    ואם הוא מתאים, קבעו לאיזו פונקציה הוא מתאים.
    נמקו תשובתכם.
  2. האם ישנם גרפים שיכולים להתאים ליותר מפונקציה אחת? נמקו תשובתכם.

גרפים של פונקציות נתונות:

\(f(x)\)

\(h(x)\)

גרפים של פונקציות מעריכיות:

1

2

3

4

5

6

פרבולה דינאמית

  • ניתן להזיז את הפרבולה הזזה אופקית ואנכית בעזרת גרירת הנקודה הכתומה.
  • ניתן למתוח את הפרבולה ואף להפוך אותה בעזרת גרירת הנקודה הכחולה.

בעיית אתגר

סעיף א

נתונה משפחת הפונקציות: \(g_n{(x)}=e^{f^n{(x)}}\) , \(n\) טבעי.

מצאו ביטוי של פונקציה \(f(x)\) כך שלכל פונקציה במשפחה זו לא תהיינה נקודות קיצון.
נמקו תשובתכם.

בדקו תשובתכם בעזרת היישומון המצורף.

סעיף ב

1. מצאו ביטוי/ביטויים לפונקציה \(f(x)\) כך שהגרפים של \(e^{f^3{(x)}}\) , \(e^{f^2{(x)}}\) , \(e^{f{(x)}}\) יתאימו לגרפים שבסרטוט הבא.
נמקו תשובתכם.

2. מצאו ביטוי/ביטויים לפונקציה \(h(x)\) כך שהגרפים של \(e^{h^3{(x)}}\) , \(e^{h^2{(x)}}\) , \(e^{h{(x)}}\) יתאימו לגרפים שבסרטוט הבא.
נמקו תשובתכם.

בדקו תשובתכם בעזרת היישומון המצורף.

יישומון לכתיבה חופשית

  • ניתן לכתוב ביטוי לפונקציה כלשהי ויופיע הגרף המתאים