פעולות על סדרה הנדסית - שתי סדרות - למורה
חומר לימוד:
לימוד של תכונות סדרה הנדסית. ביסוס והעמקה של:
- הגדרת סדרה הנדסית
- הוכחה שסדרה נתונה היא סדרה הנדסית
- תכונות של סדרה הנדסית
כיתה:
כיתה י"א
מבנה המשימה:
בעיית מטרה ושלוש מדרגות.
ידע קודם:
בנושא סדרה הנדסית:
- ידע התחלתי של הגדרת סדרה הנדסית
- תכונות של סדרה הנדסית
טכניקה אלגברית:
- חזקות, פירוק לגורמים
מטרות לימודיות:
- פיתוח מיומנויות הוכחה שסדרה היא סדרה הנדסית.
- פיתוח הבנה כי: כדי להוכיח שטענה כללית נכונה יש לבנות הוכחה כללית וכדי להפריך טענה כללית מספיקה דוגמא נגדית.
- תזכורת: אם טענה נכונה היא נכונה עבור כל מקרה פרטי המתאים לנתונים בה. אם קיים מקרה בו מתקיימים הנתונים, אך התכונה המתוארת בטענה לא מתקיימת בו, וקיימים מקרים אחרים בהם היא מתקיימת, הרי שהטענה אינה נכונה.
- במקרים רבים מועיל לבדוק מקרים פרטיים כדי או למצוא דוגמה להפרכה או להעלות השערה שצריך להוכיח אותה. אך יש לבחור את המקרים הפרטיים כך שלא יובילו להשערה לא נכונה.
משימת המטרה:
שאלה כללית בה נתונות שתי סדרות הנדסיות ושואלים מהם התנאים הדרושים כדי ליצור מהן סדרה הנדסית אחת, על-ידי שילוב האיברים שלהן לסירוגין.
מדרגה 1:
שאלות מדורגות הקשורות לשאלה הכללית שבבעיית המטרה.
מדרגה 2:
בחינת השאלה המקורית על שתי סדרות בעלות 3 איברים כל אחת, האחת נתונה באופן מספרי והשנייה כללית.
מדרגה 3:
בחינת השאלה המקורית על מקרים פרטיים, כך שניתן להכליל עבור תשובה לבעיית המטרה.
שיטת הוראה:
בכיתה:
עבודה של התלמידים (ביחידים, זוגות, או קבוצות):
תלמידים מנתבים את עצמם למדרגות השונות הניתנות לכל שאלה במשימה, ו/ או המורה מנתב את התלמידים בהתאם להיכרותו אותם, בהתאם לקשיים שמתעוררים וקצב ההתקדמות.
דיון כיתתי:
הצגת הפתרונות וההסברים על ידי התלמידים.
הדגשת הרעיונות המתמטיים שהוזכרו כאן בסעיף דגשים ומטרות.
שימוש ביישומונים:
אין
שיעורי בית:
השלמת המשימה, ו/או משימות נוספות באתר בנושא סדרות הנדסיות.
משימות מומלצות:
בעיית מטרה
נתונות שתי סדרות הנדסיות:
\(a_1\space ,\space a_2\space ,\space a_3\space ,\space a_4 \space ,…\) , המנה של סדרה זו היא \(q\).
\(b_1\space ,\space b_2\space ,\space b_3\space ,\space b_4 \space ,…\) , המנה של סדרה זו היא \(p\).
מצאו אילו קשרים צריכים להתקיים בין שתי הסדרות \(a_n\) ו- \(b_n\) כדי שהסדרה:
\(a_1\space ,\space b_1\space ,\space a_2\space ,\space b_2\space ,\space a_3\space ,\space b_3\space ,\space a_4\space ,\space b_4\space ,\space …
\)
תהיה סדרה הנדסית. הוכיחו תשובתכם.
- במידת הצורך פתרו את הבעיות במדרגה 1.
פתרונות לבעיית המטרה
קשרים שצריכים להתקיים: \(p=q\) וגם \(\Large\frac{b_1}{a_1}\normalsize=\pm\sqrt{q}\)
מדרגה 1
סעיף א
נתונות שתי סדרות הנדסיות:
סדרה 1: \(a_1\space ,\space a_2\space ,\space a_3\space ,\space a_4 \space ,…\) , המנה של סדרה זו היא \(q\).
סדרה 2: \(b_1\space ,\space b_2\space ,\space b_3\space ,\space b_4 \space ,…\) , המנה של סדרה זו היא \(p\).
ונתונה סדרה חדשה, סדרה 3:
\(a_1\space ,\space b_1\space ,\space a_2\space ,\space b_2\space ,\space a_3\space ,\space b_3\space ,\space a_4\space ,\space b_4\space ,\space …\)
- בחרו מקרים פרטיים לשתי הסדרות ההנדסיות, סדרה 1 וסדרה 2, כך ש: \(q \ne p\)
ובדקו האם הסדרה החדשה, עבור הסדרות שבחרתם, היא גם הנדסית. - בחרו מקרים פרטיים לשתי הסדרות ההנדסיות, סדרה 1 וסדרה 2, כך ש: \(q = p\)
ובדקו האם הסדרה החדשה, עבור הסדרות שבחרתם, היא גם הנדסית.
סעיף ב
האיברים \(x,y,z\) יוצרים סדרה הנדסית שכל איבריה חיוביים.
מכניסים איבר בין \(x\) ל- \(y\), ואיבר בין \(y\) ל- \(z\) כך שנוצרת סדרה הנדסית בת חמישה איברים.
רשמו את חמשת האיברים בסדרה החדשה (בטאו באמצעות \(x,y,z\)).
סעיף ג
נתונה סדרה הנדסית: \(a_1\space ,\space a_2\space ,\space a_3\space ,\space a_4\space ,…\) , המנה של סדרה זו היא \(q\) וכל איבריה חיוביים.
האם הסדרה הבאה היא בהכרח סדרה הנדסית, נמקו תשובתכם:
\(a_1\space ,\space \sqrt{a_1 \cdot a_2}\space ,\space a_2,\sqrt{a_2 \cdot a_3}\space ,\space a_3\space ,\space \sqrt{a_3 \cdot a_4}\space ,\space a_4\space ,\space …\)
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 1, פתרו את בעיית המטרה.
- או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 2.
פתרונות למדרגה 1, סעיף א
- לא.
- לא בהכרח.
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 2, פתרו את בעיית המטרה.
- או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 3.
מדרגה 3
- 1 נתונה הסדרה \(a_n=2^n\) ונתונה הסדרה \(b_n=3^n\).
האם הסדרה \(a_1\space ,\space b_1\space ,\space a_2\space ,\space b_2\space ,\space a_3\space ,\space b_3\space ,\space a_4\space ,\space b_4\space ,\space …\) היא סדרה הנדסית? נמקו תשובתכם.
\(\space\) - נתונה הסדרה \(a_n=2^n\) ונתונה הסדרה \(b_n=3 \cdot 2^n\).
האם הסדרה \(a_1\space ,\space b_1\space ,\space a_2\space ,\space b_2\space ,\space a_3\space ,\space b_3\space ,\space a_4\space ,\space b_4\space ,\space …\) היא סדרה הנדסית? נמקו תשובתכם.
\(\space\) - נתונה הסדרה \(a_n=3 \cdot 4^{n-1}\) ונתונה הסדרה \(b_n=6 \cdot 4^{n-1}\).
האם הסדרה \(a_1\space ,\space b_1\space ,\space a_2\space ,\space b_2\space ,\space a_3\space ,\space b_3\space ,\space a_4\space ,\space b_4\space ,\space …\) היא סדרה הנדסית? נמקו תשובתכם.
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 3, פתרו את בעיית המטרה.