שיקופים וערך מוחלט של פונקציה - חלק א' - למורה

משימה לתלמיד

דף למורה

מבנה המשימה

יישומונים

חומר לימוד:

שיקוף בציר \(x\) של גרפים של פולינומים (או כל פונקציה אחרת ללא אסימפטוטות), ופונקציית הערך המוחלט של הנ"ל.

התחלת ההוראה של פעולות על פונקציות. ניתן לבצע משימה זו עוד לפני הוראת הזזות ומתיחות של פונקציות. למשימה זו משימת המשך: "שיקופים וערך מוחלט של פונקציה-חלק ב', חלק ג', חלק ד' ".

פעילות זו יחד עם פעילות "שיקופים של פונקציה-חלק ב'" יכולות להיות פעילויות מקדימות להוראת המושגים "פונקציה זוגית" ו- "פונקציה אי זוגית".

כיתה:

כיתה י'

מבנה המשימה:

בעיית מטרה ושתי מדרגות. מצורפים יישומונים.

ידע קודם:                     

תכונות של פונקציה כמו:

  • נקודות חיתוך עם הצירים
  • נקודות קיצון וסוגן
  • תחומי עליה וירידה
  • תחומי חיוביות ושליליות
  • שיקוף סביב ציר ה- \(x\)

מטרות לימודיות:          

  • קשרים הקיימים בין תכונות פולינום \(f(x)\) לבין תכונות של הפונקציות \(-f(x)\) ו- \(|f(x)|\), והמשמעות הגרפית של הפעולות ערך מוחלט של פונקציה, ושיקוף סביב ציר ה- \(x\) של פונקציה.
  • השונה והמשותף בין \(-f(x)\) ל- \(|f(x)|\).

משימת המטרה:

בבעיית המטרה נתונים גרפים של 4 פולינומים שונים.

מדרגה 1:

נתונים גרפים של שתי פרבולות.

מדרגה 2:

נתונים גרפים של שני ישרים.

שיטת הוראה:

בכיתה:

התלמידים יעבדו (רצוי בזוגות) בהתאם למדרגה בה הם בוחרים או בהתאם להכוונת המורה. רצוי להיעזר ביישומונים המצורפים.

שימוש ביישומונים:

בכל בעיה, ובכל שלב השימוש ביישומונים הוא לצורך בדיקה, לאחר שתלמיד חשב על השאלה והגיע למסקנות הנידרשות. אם תלמיד טעה / או לא ידע, שימוש ביישומונים יכול לעזור לו, אבל חשוב שתלמיד יידע לנמק את תשובותיו לאחר שנעזר ביישומון.

יש להקדים לכל משימה הסבר מה נידרש במשימה, והסבר לגבי שימוש ביישומונים.

שיעורי בית:

סיום המשימה ו/או המשך לחלקים נוספים.

משימות מומלצות:

למשימה זו משימות המשך:

בעיית מטרה

לפניכם 4 גרפים של פונקציות \(f_n{(x)}\). 

\(f_1{(x)}\)

\(f_2{(x)}\)

תחום הגדרה: כל \(x\)

נקודות חיתוך עם הצירים: \((2,0)\) , \((0,0)\) , \((-2,0)\)

נקודות קיצון: מקסימום \((-1.2,3.1)\) , מינימום \((1.2,-3.1)\)

תחום הגדרה: כל \(x\)

נקודות חיתוך עם הצירים: \((2,0)\) , \((1,0)\) , \((0,3)\) , \((-3,0)\)

נקודות קיצון: מקסימום \((-1.5,6.6)\) , מינימום \((1.5,-0.6)\)

\(f_3{(x)}\)

\(f_4{(x)}\)

תחום הגדרה: כל \(x\)

נקודות חיתוך עם הצירים: \((2,0)\) , \((1,0)\) , \((0,-1)\) , \((-1,0)\)

נקודות קיצון: מקסימום \((1,0)\) , מינימום \((1.7,-0.2)\) , \((-0.4,-1.4)\)

תחום הגדרה: כל \(x\)

נקודת חיתוך עם ציר \(y\): \((0,-5)\)

נקודות קיצון: מקסימום \((2,-1)\) , \((-1,-1)\) , מינימום \((0.5,-6.1)\)

סעיף א

סרטטו, עבור כל אחת מהפונקציות (במערכת הצירים שלה) את:

  1. גרף הפונקציה \(-f_n{(x)}\)
  2. גרף הפונקציה \(|f_n{(x)}|\)

תוכלו לסרטט את הגרפים ולבדוק תשובותיכם בעזרת היישומונים המצורפים.

סעיף ב

\(h(x)\) היא פונקציית פולינום כלשהו.

  1. מצאו ותארו את הקשרים בין גרף הפונקציה \(h(x)\) לבין גרף הפונקציה \(-h(x)\).
    נמקו מדוע מתקיים כל אחד מהקשרים שמצאתם.
  2. מצאו ותארו את הקשרים בין גרף הפונקציה \(h(x)\) לבין גרף הפונקציה \(|h(x)|\).
    נמקו מדוע מתקיים כל אחד מהקשרים שמצאתם.

בתשובותיכם תוכלו להיעזר במושגים הבאים (לא בהכרח בכולם):
נקודות אפס, נקודות קיצון וסוגן, תחומי עליה וירידה, תחומי חיוביות ושליליות, שיקוף בציר \(x\), שיקוף בציר \(y\), פונקציה זוגית, פונקציה אי-זוגית, פונקציה חיובית, פונקציה שלילית, פונקציה אי-חיובית, פונקציה אי-שלילית.

תוכלו להיעזר ביישומונים המצורפים.

  • במידת הצורך פתרו את הבעיות במדרגה 1.

סעיף א – יישומון לפונקציות 1,2

  • מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות במקומות המתאימים להן.
  • יש להיעזר בעיפרון שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה.
  • ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות.
  • עם פעולת הבדיקה, מופיע בתפריט שבתחתית היישומון כפתור צהוב עם חץ עליו, כדי לבצע, על הפונקציה הנבחרת, את הפעולה האחרת (\(-f(x)\) או \(|f(x)|\))
  • כדי לעבור לפונקציה האחרת יש ללחוץ על שנה פונקציה, בכפתור הצהוב בתפריט שבתחתית היישומון.
  • במידת הצורך, ניתן להציג שיקוף של הנקודה האדומה על ידי בחירה של האפשרות המתאימה בתפריט שבתחתית היישומון: שיקוף בציר ה-\(x\) או בציר ה-\(y\).
  • למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בתפריט העליון.
  • כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.

סעיף א – יישומון לפונקציות 3,4

  • מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות במקומות המתאימים להן.
  • יש להיעזר בעיפרון שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה.
  • ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות.
  • עם פעולת הבדיקה, מופיע בתפריט שבתחתית היישומון כפתור צהוב עם חץ עליו, כדי לבצע, על הפונקציה הנבחרת, את הפעולה האחרת (\(-f(x)\) או \(|f(x)|\))
  • כדי לעבור לפונקציה האחרת יש ללחוץ על שנה פונקציה, בכפתור הצהוב בתפריט שבתחתית היישומון.
  • במידת הצורך, ניתן להציג שיקוף של הנקודה האדומה על ידי בחירה של האפשרות המתאימה בתפריט שבתחתית היישומון: שיקוף בציר ה-\(x\) או בציר ה-\(y\).
  • למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בתפריט העליון.
  • כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.

סעיף ב – יישומון פולינום דינאמי – לסעיפים ב1, ב2

  • ניתן להזיז את הפולינום הזזה אופקית ואנכית בעזרת גרירת הנקודה האדומה.
  • ניתן לשנות את הגרף הנתון על-ידי: שינוי הפרמטרים \(k\) , \(d\) , \(n\) בעזרת סרגלי הגרירה. (נסו תחילה להבין מהי המשמעות של כל אחד מהפרמטרים)

מדרגה 1

לפניכם 2 גרפים של פונקציות \(g_n{(x)}\).

\(g_1{(x)}\)

\(g_2{(x)}\)

תחום הגדרה: כל \(x\)

נקודות חיתוך עם הצירים: \((1,0)\) , \((0,-3)\) , \((-3,0)\)

נקודת מינימום: \((-1,-4)\)

תחום הגדרה: כל \(x\)

נקודת חיתוך עם ציר \(y\): \((0,-6)\)

נקודת מקסימום: \((2,-2)\)

סרטטו, עבור כל אחת מהפונקציות (במערכת הצירים שלה) את:

  1. גרף הפונקציה \(-g_n{(x)}\)
  2. גרף הפונקציה \(|g_n{(x)}|\)

תוכלו לסרטט את הגרפים ולבדוק תשובותיכם בעזרת היישומון המצורף.

  • אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 1, פתרו את בעיית המטרה.
  • או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 2.

יישומון

  • מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות במקומות המתאימים להן.
  • יש להיעזר בעיפרון שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה.
  • ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות.
  • עם פעולת הבדיקה, מופיע בתפריט שבתחתית היישומון כפתור צהוב עם חץ עליו, כדי לבצע, על הפונקציה הנבחרת, את הפעולה האחרת (\(-f(x)\) או \(|f(x)|\))
  • כדי לעבור לפונקציה האחרת יש ללחוץ על שנה פונקציה, בכפתור הצהוב בתפריט שבתחתית היישומון.
  • במידת הצורך, ניתן להציג שיקוף של הנקודה האדומה על ידי בחירה של האפשרות המתאימה בתפריט שבתחתית היישומון: שיקוף בציר ה-\(x\) או בציר ה-\(y\).
  • למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בתפריט העליון.
  • כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.

מדרגה 2

לפניכם 2 גרפים של פונקציות \(t_n{(x)}\). 

\(t_1{(x)}\)

\(t_2{(x)}\)

תחום הגדרה: כל \(x\)

נקודות חיתוך עם הצירים: \((1,0)\) , \((0,-2)\)

תחום הגדרה: כל \(x\)

נקודות חיתוך עם הצירים: \((2,0)\) , \((0,1)\)

סרטטו, עבור כל אחת מהפונקציות (במערכת הצירים שלה) את:

  1. גרף הפונקציה \(-t_n{(x)}\)
  2. גרף הפונקציה \(|t_n{(x)}|\)

תוכלו לסרטט את הגרפים ולבדוק תשובותיכם בעזרת היישומון המצורף.

יישומון

  • מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות במקומות המתאימים להן.
  • יש להיעזר בעיפרון שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה.
  • ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות.
  • עם פעולת הבדיקה, מופיע בתפריט שבתחתית היישומון כפתור צהוב עם חץ עליו, כדי לבצע, על הפונקציה הנבחרת, את הפעולה האחרת (\(-f(x)\) או \(|f(x)|\))
  • כדי לעבור לפונקציה האחרת יש ללחוץ על שנה פונקציה, בכפתור הצהוב בתפריט שבתחתית היישומון.
  • במידת הצורך, ניתן להציג שיקוף של הנקודה האדומה על ידי בחירה של האפשרות המתאימה בתפריט שבתחתית היישומון: שיקוף בציר ה-\(x\) או בציר ה-\(y\).
  • למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בתפריט העליון.
  • כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.