שני משולשים במרובע ומעגל - למורה

משימה לתלמיד

דף למורה

מבנה המשימה

יישומונים

חומר לימוד:

פתרון בעיות הוכחה בגיאומטריה

כיתה:

כיתה י' / כיתה י"א

מבנה המשימה:

בעיית מטרה ושלוש מדרגות. לכל שלב מצורף יישומון.

ידע קודם:                     

  • תכונות מעגל
  • משיקים למעגל
  • תכונות טרפז
  • שטח משולש

מטרות לימודיות:          

  • פיתוח חשיבה אסטרטגית
  • יכולת לחלק בעיה לתת-בעיות

סוג הדירוג:

פתרון הבעיות במדרגות תומך בפתרון בעיית המטרה

משימת המטרה:

בעיה כללית. טרפז מעגל ושני משולשים. יש להוכיח את יחס שטחי המשולשים.

מדרגה 1:

טרפז, מעגל ומרובע. יש להוכיח מהו סוג המרובע.

מדרגה 2:

טרפז ומעגל. יש להוכיח שמתקבלת זווית ישרה.

מדרגה 3:

טרפז מעגל ומרובע. יש להוכיח שהמרובע הוא מלבן.

שיטת הוראה:

בכיתה:                         

התלמידים יעבדו (רצוי בזוגות) בהתאם למדרגה בה הם בוחרים או בהתאם להכוונת המורה.

אחרי פתרון הבעיות מומלץ לקיים דיון כיתתי.

שימוש ביישומונים:

לכל שלב יש יישומון מתאים.

שיעורי בית:

סיום המשימה.

בעיית מטרה

נתון: \(ABCD\) טרפז \((AD∥BC)\).

\(DC\) , \(AD\) ו- \(BC\) משיקים למעגל שמרכזו \(O\) בנקודות \(B\) , \(E\) , \(A\).

\(R\) – נקודת חיתוך של \(OC\) עם המעגל.

\(F\) – נקודת חיתוך \(OE\) ו- \(AR\). 

הוכיחו: שטח משולש \(\triangle AFB\) גדול פי 2 משטח משולש \(\triangle EFR\).

היעזרו ביישומון.

  • במידת הצורך פתרו את הבעיות במדרגה 1.

יישומון

  • גרירת נקודות \(A\) או \(E\), מציגה מרובע ומשולשים שונים, תוך שמירה על הנתונים.
  • כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש ניתן להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.

מדרגה 1

בחנו את המרובע: \(AERO\).

מה הוא סוג המרובע? הוכיחו.

היעזרו ביישומון. 

  • אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 1, פתרו את בעיית המטרה.
  • או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 2.

יישומון

  • גרירת נקודות \(A\) או \(E\), מציגה מרובע ומשולשים שונים, תוך שמירה על הנתונים.
  • כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש ניתן להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.

מדרגה 2

נתון: \(ABCD\) טרפז \((AD∥BC)\).

\(DC\) , \(AD\) ו- \(BC\) משיקים למעגל שמרכזו \(O\) בנקודות \(B\) , \(E\) , \(A\).

הוכיחו: \(\measuredangle{DOC}=90^{\circ}\)

מצאו לפחות 3 דרכים שונות להוכחה.

היעזרו ביישומון. 

  • אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 2, פתרו את בעיית המטרה.
  • או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 3.

יישומון

  • גרירת נקודות \(A\) או \(E\), מציגה מרובע ומשולשים שונים, תוך שמירה על הנתונים.
  • כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש ניתן להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.

מדרגה 3

  1. נתון: \(ABCD\) טרפז \((AD∥BC)\).

    \(DC\) , \(AD\) ו- \(BC\) משיקים למעגל שמרכזו \(O\) בנקודות \(B\) , \(E\) , \(A\).

\(X\) – נקודת חיתוך של \(BE\) ו- \(OC\).

\(Y\) – נקודת חיתוך \(AE\) ו- \(OD\).

הוכיחו: \(OYEX\) מלבן (מצאו לפחות 3 דרכים שונות).

היעזרו ביישומון.

  1. נתון: גם: \(R\) – נקודת חיתוך של \(OC\) עם המעגל.

המרובע \(AERO\) הוא טרפז \((AE∥OR)\).

\(F\) – נקודת חיתוך \(OE\) ו- \(AR\).

הוכיחו: שטח משולש \(\triangle{AFO}\) שווה לשטח משולש \(\triangle{EFR}\).

תוכלו להיעזר ביישומון.

יישומון לבעיה א

  • גרירת נקודות \(A\) או \(E\), מציגה מרובע ומשולשים שונים, תוך שמירה על הנתונים.
  • כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש ניתן להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.

יישומון לבעיה ב

  • גרירת נקודות \(A\) או \(E\), מציגה מרובע ומשולשים שונים, תוך שמירה על הנתונים.
  • כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש ניתן להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.