שיקופים וערך מוחלט של פונקציה - חלק ב' - למורה
חומר לימוד:
שיקוף בציר \(y\) של גרפים ללא אסימפטוטות – מתאימים לפולינומים.
ניתן לקשר את הנלמד להגדרה ותכונות של פונקציה זוגית ושל פונקציה אי זוגית. מתאים לשלב את הפעילות בתחלת ההוראה של פעולות על פונקציות לאחר הפעלת המשימה "שיקופים וערך מוחלט של פונקציה – חלק א".
אין הכרח להקדים להפעלה את ההוראה של הזזות ומתיחות של פונקציות.
למשימה זו משימת המשך: "שיקופים וערך מוחלט של פונקציה-חלק ג' וחלק ד' ".
כיתה:
כיתה י'
מבנה המשימה:
בעיית מטרה, שלוש מדרגות. מצורפים יישומונים בגיאוגברה.
ידע קודם:
תכונות של פונקציה כמו:
- נקודות חיתוך עם הצירים
- נקודות קיצון וסוגן
- תחומי עליה וירידה
- תחומי חיוביות ושליליות
- שיקוף סביב ציר ה- \(y\)
- סימטריה סביב ציר ה- \(y\)
מטרות לימודיות:
- אפיון קשרים בין תכונות גרף של פונקציית פולינום \(f(x)\) (או כל פונקציה אחרת ללא אסימפטוטות) לבין תכונות הפונקציה \(f(-x)\), והמשמעות הגרפית של פעולת שיקוף ביחס לציר ה- \(y\) של פונקציה.
- ההבדלים שבין \(-f(x)\) ל- \(f(-x)\).
- תכונות של פונקציה זוגית ופונקציה אי זוגית.
משימת המטרה:
בבעיית המטרה נתונות שלוש פונקציות. פונקציה אחת לא זוגית ולא אי-זוגית, פונקציה אחת אי-זוגית ופונקציה אחת זוגית. לפונקציות יש 4 או 5 נקודות חיתוך עם ציר ה- \(x\).
מדרגה 1:
נתונות שתי פונקציות. אחת לא זוגית ולא אי-זוגית ואחת אי-זוגית. לשתיהן שלוש נקודות חיתוך עם ציר \(x\).
מדרגה 2:
נתונות שתי פונקציות פשוטות יותר. אחת לא זוגית ולא אי זוגית ואחת זוגית.
מדרגה 3:
נתונות שלוש פונקציות: שתי פרבולות אחת זוגית ואחת לא זוגית ולא אי-זוגית וכן פונקציה אי-זוגית שחותכת את ציר ה-\(x\) פעם אחת.
שיטת הוראה:
בכיתה:
התלמידים יעבדו (רצוי בזוגות) בהתאם למדרגה בה הם בוחרים או בהתאם להכוונת המורה. רצוי להיעזר ביישומונים המצורפים.
שימוש ביישומונים:
בכל בעיה, ובכל שלב השימוש ביישומונים הוא לצורך בדיקה, לאחר שתלמיד חשב על השאלה והגיע למסקנות הנדרשות. אם תלמיד טעה / או לא ידע, שימוש ביישומונים יכול לעזור לו, אבל חשוב שתלמיד יידע לנמק את תשובותיו לאחר שנעזר ביישומון.
יש להקדים לכל משימה הסבר מה נידרש במשימה, והסבר לגבי שימוש ביישומונים.
שיעורי בית:
סיום המשימה.
משימות מומלצות:
משימה מקדימה למשימה זו:
משימות המשך למשימה זו:
\(f_1{(x)}\)
תחום הגדרה: כל \(x\)
נקודות חיתוך עם הצירים: \((2,0)\) , \((1,0)\) , \((0,12)\) , \((-1,0)\) , \((-2,0)\) , \((-3,0)\)
נקודות קיצון: מקסימום \((0.1,12.3)\) , \((-2.6,6.4)\) ,מינימום \((1.6,-10.3)\) , \((-1.5,-3.3)\)
\(f_2{(x)}\)
\(f_3{(x)}\)
תחום הגדרה: כל \(x\)
נקודות חיתוך עם הצירים: \((2,0)\) , \((1,0)\) , \((0,0)\) , \((-1,0)\) , \((-2,0)\)
נקודות קיצון: מקסימום \((0.5,1.4)\) , \((-1.6,3.6)\) מינימום \((1.6,-3.6)\) , \((-0.5,-1.4)\)
תחום הגדרה: כל \(x\)
נקודות החיתוך עם הצירים: \((2,0)\) , \((1,0)\) , \((0,4)\) , \((-1,0)\) , \((-2,0)\)
נקודות קיצון: מקסימום \((0,4)\) מינימום \((1.6,2.3)\) , \((-1.6,-2.3)\)
- סרטטו, עבור כל אחת מהפונקציות (במערכת הצירים שלה), את גרף הפונקציה \(f_n(-x)\)
תוכלו לסרטט את הגרפים ולבדוק תשובותיכם בעזרת היישומון המצורף.
- \(h(x)\) היא פונקציית פולינום כלשהו.
מצאו ותארו את הקשרים בין גרף הפונקציה \(h(x)\) לבין גרף הפונקציה \(h(-x)\).
נמקו מדוע מתקיים כל אחד מהקשרים שמצאתם.
בתשובתכם, תוכלו להיעזר במושגים הבאים (לא בהכרח בכולם):
נקודות אפס, נקודות קיצון וסוגן, תחומי עליה וירידה, תחומי חיוביות ושליליות, שיקוף בציר x, שיקוף בציר y, פונקציה זוגית, פונקציה אי-זוגית, פונקציה חיובית, פונקציה שלילית, פונקציה אי-חיובית, פונקציה אי-שלילית, מספרים נגדיים.
תוכלו להיעזר ביישומון דינאמי כדי לבדוק את הקשרים בין הפונקציות: \(h(x)\) , \(h(-x)\) עבור פונקציות רבות.
- במידת הצורך פתרו את הבעיות במדרגה 1.
- מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות במקומות המתאימים להן.
- יש להיעזר בעיפרון
שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה. - ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות.
- כדי לעבור לפונקציה האחרת יש ללחוץ על שנה פונקציה, בכפתור הצהוב בתפריט שבתחתית היישומון.
- במידת הצורך, ניתן להציג שיקוף של הנקודה האדומה על ידי בחירה של האפשרות המתאימה בתפריט שבתחתית היישומון: שיקוף בציר ה-\(x\) או בציר ה-\(y\).
- למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים
ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ 
בתפריט העליון. - כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול
שבפינה הימנית העליונה.
- מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות במקומות המתאימים להן.
- יש להיעזר בעיפרון שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה.
- ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות.
- כדי לעבור לפונקציה האחרת יש ללחוץ על שנה פונקציה, בכפתור הצהוב בתפריט שבתחתית היישומון.
- במידת הצורך, ניתן להציג שיקוף של הנקודה האדומה על ידי בחירה של האפשרות המתאימה בתפריט שבתחתית היישומון: שיקוף בציר ה-\(x\) או בציר ה-\(y\).
- למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בתפריט העליון.
- כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.
- ניתן להזיז את הפולינום הזזה אופקית ואנכית בעזרת גרירת הנקודה האדומה.
- ניתן לשנות את הגרף הנתון על-ידי: שינוי הפרמטרים \(k\) , \(d\) , \(n\) בעזרת סרגלי הגרירה. (נסו תחילה להבין מהי המשמעות של כל אחד מהפרמטרים)
\(g_1{(x)}\)
\(g_2{(x)}\)
תחום הגדרה: כל \(x\)
נקודות חיתוך עם הצירים: \((2,0)\) , \((1,0)\) , \((0,-2)\) , \((-1,0)\)
נקודות הקיצון: מקסימום: \((1,0)\) , מינימום: \((1.7,-0.4)\) , \((-0.4,-2.8)\)
תחום הגדרה: כל \(x\)
נקודות החיתוך עם הצירים: \((2,0)\) , \((0,0)\) , \((-2,0)\)
נקודות קיצון: מקסימום: \((-1.2,3.1)\) , מינימום: \((1.2,-3.1)\)
סרטטו, עבור כל אחת מהפונקציות (במערכת הצירים שלה) את גרף הפונקציה \(g_n{(-x)}\).
תוכלו לסרטט את הגרפים ולבדוק תשובותיכם בעזרת היישומון המצורף.
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 1, פתרו את בעיית המטרה.
- או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 2.
- מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות במקומות המתאימים להן.
- יש להיעזר בעיפרון שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה.
- ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות.
- כדי לעבור לפונקציה האחרת יש ללחוץ על שנה פונקציה, בכפתור הצהוב בתפריט שבתחתית היישומון.
- במידת הצורך, ניתן להציג שיקוף של הנקודה האדומה על ידי בחירה של האפשרות המתאימה בתפריט שבתחתית היישומון: שיקוף בציר ה-\(x\) או בציר ה-\(y\).
- למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בתפריט העליון.
- כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.
\(t_1{(x)}\)
\(t_2{(x)}\)
תחום הגדרה: כל \(x\)
נקודות חיתוך עם הצירים: \((1,0)\) , \((0,0)\)
נקודות הקיצון: מקסימום: \((0,0)\) , מינימום: \((0.7,-1.2)\)
תחום הגדרה: כל \(x\)
נקודת חיתוך עם הצירים: \((0,3)\)
נקודות הקיצון: מקסימום: \((0,3)\) , מינימום: \((1,2)\) , \((-1,2)\)
סרטטו, עבור כל אחת מהפונקציות (במערכת הצירים שלה) את גרף הפונקציה \(t_n{(-x)}\)
תוכלו לסרטט את הגרפים ולבדוק תשובותיכם בעזרת היישומון המצורף.
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 2, פתרו את בעיית המטרה.
- או במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 3.
- מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות במקומות המתאימים להן.
- יש להיעזר בעיפרון שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה.
- ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות.
- כדי לעבור לפונקציה האחרת יש ללחוץ על שנה פונקציה, בכפתור הצהוב בתפריט שבתחתית היישומון.
- במידת הצורך, ניתן להציג שיקוף של הנקודה האדומה על ידי בחירה של האפשרות המתאימה בתפריט שבתחתית היישומון: שיקוף בציר ה-\(x\) או בציר ה-\(y\).
- למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בתפריט העליון.
- כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.
\(p_1{(x)}\)
\(p_2{(x)}\)
תחום הגדרה: כל \(x\)
נקודות חיתוך עם הצירים: \((3,0)\) , \((0,3)\) , \((-1,0)\)
נקודת המקסימום: \((1,4)\)
תחום הגדרה: כל \(x\)
נקודת חיתוך עם הצירים: \((0,0)\)
נקודת פיתול: \((0,0)\)
\(p_3{(x)}\)
תחום הגדרה: כל \(x\)
נקודות חיתוך עם הצירים: \((2,0)\) , \((0,-4)\) , \((-2,0)\)
נקודת מינימום: \((0,-4)\)
סרטטו, עבור כל אחת מהפונקציות (במערכת הצירים שלה) את גרף הפונקציה \(p_n{(-x)}\).
תוכלו לסרטט את הגרפים ולבדוק תשובותיכם בעזרת היישומון המצורף.
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 3, פתרו את בעיית המטרה.
- מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות במקומות המתאימים להן.
- יש להיעזר בעיפרון שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה.
- ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות.
- כדי לעבור לפונקציה האחרת יש ללחוץ על שנה פונקציה, בכפתור הצהוב בתפריט שבתחתית היישומון.
- במידת הצורך, ניתן להציג שיקוף של הנקודה האדומה על ידי בחירה של האפשרות המתאימה בתפריט שבתחתית היישומון: שיקוף בציר ה-\(x\) או בציר ה-\(y\).
- למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בתפריט העליון.
- כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.
- מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות במקומות המתאימים להן.
- יש להיעזר בעיפרון שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה.
- ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות.
- כדי לעבור לפונקציה האחרת יש ללחוץ על שנה פונקציה, בכפתור הצהוב בתפריט שבתחתית היישומון.
- במידת הצורך, ניתן להציג שיקוף של הנקודה האדומה על ידי בחירה של האפשרות המתאימה בתפריט שבתחתית היישומון: שיקוף בציר ה-\(x\) או בציר ה-\(y\).
- למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בתפריט העליון.
- כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.