הגדרת מקומות גיאומטריים באמצעות מספרים מרוכבים - למורה

משימה לתלמיד

דף למורה

מבנה המשימה

יישומונים

  • – – – – –

חומר לימוד:

הגדרת מקומות גיאומטריים באמצעות מספרים מרוכבים.

המשימה מתאימה לתרגול מתפתח ומתקדם של הגדרת חלקי מישור באמצעות אי-שוויונות במספרים מרוכבים.

כיתה:

כיתה י"ב

מבנה המשימה:

בעיית מטרה ושלוש מדרגות.

ידע קודם:

שימוש במושגים: \(|z|\) , \(Arg⁡(z)\) , \(Im(z)\) , \(Re(z)\) , \(|z-a|\) (\(a\) מספר מרוכב) לצורך הגדרת פנים וחוץ של מעגלים, גזרות, חצאי מישור וכד'.

מטרות לימודיות:

תרגול התייחסות למישור כמקום גיאומטרי של מספרים מרוכבים ותרגול הקשרים בין המושגים שהוזכרו לעיל.

משימת המטרה:

בבעיה סרטוט מורכב (לא מרוכב!)

מדרגה 1:

בבעיה סרטוט פרח מארבעה מעגלים.

מדרגה 2:

בבעיה סרטוט מעגל, גזרות וחצאי מישור.

מדרגה 3:

שתי בעיות. האחת עוסקת בטבעת והשניה בריבוע בתוך עיגול.

שיטת הוראה:

בכיתה:

עבודה עצמאית או בזוגות. המורה יציג את בעיית המטרה. התלמיד יכול לבחור לפי איזו רמה ברצונו לעבוד.

שימוש ביישומונים:

אין 

בעיית מטרה

השתמשו בתכונות של מספרים מרוכבים ובקשרים ביניהן כדי להגדיר את השטחים הממוספרים: 

1 – השטח הצבוע בוורוד, שמחוץ לעיגול הצהוב והעיגול התכלת,
2 – השטח המשותף לעיגול התכלת ולעיגול הצהוב,
3 – השטח במלבן \(KLMN\), מימין לציר ה-\(y\), ומחוץ לעיגול הצהוב,
4 – השטח המשותף למשולש \(KON\), ולעיגול הורוד ומחוץ לעיגול הכחול, (\(O\) ראשית הצירים)

תוכלו להגדיר שטחים נוספים כרצונכם.

שימו לב: כל המעגלים עוברים בראשית הצירים, מרכזי המעגלים: \(A\) , \(B\) , \(C\) , \(D\) , \(E\) , \(F\) מתאימים לשישה שורשים שונים של מספר מרוכב. רדיוס כל מעגל הוא: 3 יחידות אורך. הנקודות \(K\) , \(L\) , \(M\) , \(N\) הן נקודות חיתוך בין מעגלים, כמתואר בסרטוט.

  • במידת הצורך פתרו את הבעיות במדרגה 1.

מדרגה 1

השתמשו בתכונות של מספרים מרוכבים ובמושגים: \(|z|\) , \(Arg⁡(z)\) , \(Im(z)\) , \(Re(z)\), והגדירו באמצעותם את השטחים השונים (8 במספר) אשר בסרטוט שלפניכם.

העיגולים חופפים זה לזה ועוברים כולם בראשית הצירים. (כל שטח צבוע בצבע שונה – הצירים לא מפרידים בין השטחים).

  • אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 1, פתרו את בעיית המטרה.
  • או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 2.

מדרגה 2

השתמשו בתכונות של מספרים מרוכבים ובמושגים: \(|z|\) , \(Arg⁡(z)\) , \(Im(z)\) , \(Re(z)\), והגדירו באמצעותם את השטחים השונים (10 במספר) אשר בסרטוט שלפניכם.

רדיוס המעגל הוא: 5 יחידות אורך.

הגזרות הנראות בסרטוט הן רבעי מעגל. (כל שטח צבוע בצבע שונה – הצירים לא מפרידים בין השטחים).

  • אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 2, פתרו את בעיית המטרה.
  • או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 3.

מדרגה 3

סעיף א

השתמשו בתכונות של מספרים מרוכבים ובמושגים: \(|z|\) , \(Arg⁡(z)\) , \(Im(z)\) , \(Re(z)\), והגדירו באמצעותם את השטחים השונים (3 במספר) אשר בסרטוט שלפניכם (כל שטח צבוע בצבע שונה – הצירים לא מפרידים בין השטחים).

סעיף ב

השתמשו בתכונות של מספרים מרוכבים ובמושגים: \(z|\) , \(Arg⁡(z)\) , \(Im(z)\) , \(Re(z)\), והגדירו באמצעותם את השטחים השונים (5 במספר) אשר בסרטוט שלפניכם (כל שטח צבוע בצבע שונה – הצירים לא מפרידים בין השטחים). המרובע \(ABCD\) הוא ריבוע.