אסימפטוטות או "חורים" בפונקציות מנה - חלק ג' - למורה
חומר לימוד:
חקירה של משפחות של פונקציות רציונאליות שמאפשרות נקודות אי-רציפות סליקה ("חור").
החקירות במשימה מזמנות פיתוח מיומנות של הבחנה בין נקודות אי-רציפות בהן יש אסימפטוטה אנכית לבין נקודות בהן יש "חורים", לפי בחינת הקשר בין איפוס מכנה לאיפוס מונה.
כיתה:
כיתה י"א
מבנה המשימה:
בעיית מטרה ושתי מדרגות. לבעיית המטרה יש יישומון בו ניתן להיעזר לצורך החקירה.
ידע קודם:
- מיומנויות חקירה של פונקציה
- זיהוי אפסים של מונה ומכנה
- חקירת ביטוי ריבועי לפי פרמטר
- זיהוי אסימפטוטות אנכיות ואופקיות, זיהוי "חורים" – נקודות אי-רציפות סליקות
מטרות לימודיות:
- הבחנה בין אסימפטוטה אנכית לבין נקודת אי-רציפות סליקה – "חור"
- חקירה עם פרמטר בדגש על מספר אפסים של ביטוי ריבועי והשפעתו על פונקציה רציונאלית (איפוס מונה, איפוס מכנה)
הערה:
לנושא זה עוד שתי משימות, אסימפטוטות או "חורים" בפונקציית מנה, חלק א' וחלק ב'.
משימת המטרה:
נתונה פונקציית מנה. המונה והמכנה ממעלה שניה, במכנה שני פרמטרים.
מדרגה 1:
נתונה פונקציית מנה. המונה והמכנה ממעלה שניה, מפורקים לגורמים, במכנה שני פרמטרים.
מדרגה 2:
נתונות ארבע פונקציות מנה. המונה והמכנה ממעלה שניה ללא פרמטרים.
אם עונים על הבעיות במדרגות, נוגעים בכל הסוגיות המובילות לפתרון בעיית המטרה.
שיטת הוראה:
בכיתה:
עבודה בזוגות או בקבוצות. הכוונה למדרגות השונות ע"י המורה או לפי רצונו של התלמיד.
שימוש ביישומונים:
קיים יישומון לבעיית המטרה.
שיעורי בית:
ניתן לתת את חלקים א' וב' כשיעורי בית. או להתחיל באחד מהחלקים האחרים ולתת את חלק ב' כשיעורי בית.
משימות מומלצות:
בעיית מטרה
נתונה משפחת הפונקציות: \(f(x)=\Large\frac{x^2+2x-8}{x^2+bx+c}\) , \(b\) ו-\(c\) פרמטרים.
סעיף א
הציעו ערכי פרמטרים, כך שיתקבלו פונקציות בעלות התכונות הבאות:
- פונקציה בעלת שתי אסימפטוטות אנכיות.
- פונקציה שאינה קבועה וללא אסימפטוטות אנכיות כלל.
- פונקציה בעלת אסימפטוטה אנכית אחת בלבד ונקודת אי-הגדרה נוספת, בה אין אסימפטוטה אנכית.
- פונקציה בעלת אסימפטוטה אנכית אחת בלבד וללא נקודת אי-הגדרה נוספת.
סעיף ב
סרטטו סקיצות מתאימות לכל אחת מהפונקציות שהצעתם בסעיף א.
ציינו: תחום הגדרה, חיתוך צירים ונקודות קיצון.
בחקירתכם, תוכלו לבדוק תשובותיכם באמצעות היישומון המצורף.
הקפידו לוודא שכל חלקי הגרף מופיעים על המסך.
- במידת הצורך פתרו את הבעיות במדרגה 1.
מדרגה 1
נתונה משפחת הפונקציות: \(g(x)=\Large\frac{(x-3)(x+1)}{(x-a)(x-b)}\)
סעיף א
הציעו ערכי פרמטרים, במידת האפשר, כך שיתקבלו פונקציות בעלות התכונות הבאות:
- פונקציה בעלת שתי אסימפטוטות אנכיות.
- פונקציה שאינה קבועה וללא אסימפטוטות אנכיות כלל.
- פונקציה בעלת אסימפטוטה אנכית אחת בלבד ונקודת אי-הגדרה נוספת, בה אין אסימפטוטה אנכית.
- פונקציה בעלת אסימפטוטה אנכית אחת בלבד וללא נקודת אי-הגדרה נוספת.
סעיף ב
סרטטו סקיצות מתאימות לכל אחת מהפונקציות שהצעתם בסעיף א.
ציינו: תחום הגדרה, חיתוך צירים ונקודות קיצון.
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 1, פתרו את בעיית המטרה.
- או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 2.
\(f_{4}{(x)}=\Large\frac{x^2-2x}{x^2-4x+4}\)
\(f_{3}{(x)}=\Large\frac{x^2-2x}{x^2+1}\)
\(f_{2}{(x)}=\Large\frac{x^2+2x+1}{x^2-2x-3}\)
\(f_{1}{(x)}=\Large\frac{x^2+2x+1}{x^2-5x+6}\)
ענו על השאלות הבאות:
- למי מהפונקציות יש שתי אסימפטוטות אנכיות?
- למי מהפונקציות יש אסימפטוטה אנכית אחת בלבד?
- למי מהפונקציות אין אסימפטוטות אנכיות?
- למי מהפונקציות יש שני איפוסי מכנה שאחד מהם משותף למונה ולמכנה? מה קורה בנקודת האיפוס המשותפת?
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 2, פתרו את בעיית המטרה.