חזקה טבעית של פונקציה - חלק ב' - חזקה שלישית \(f^3{(x)}\) - למורה
חומר לימוד:
סרטוט הגרף של הפונקציה \(f^3(x)\), כאשר נתון הגרף של הפונקציה \(f(x)\), עבור \(f(x)\) פולינום. התחלת הוראת הנושא. רצוי לתת משימה זו לאחר המשימה "חזקה טבעית של פונקציה – חלק א – חזקה שניה".
כיתה:
כיתה י'
מבנה המשימה:
בעיית מטרה ושלוש בעיות מדרגה. לכל אחת מהבעיות מצורפים יישומונים.
ידע קודם:
- הכרת הפונקציות \(x^n\) (עבור \(n\) טבעי)
תכונות של פונקציה כמו:
- נקודות חיתוך עם הצירים
- נקודות קיצון וסוגן
- תחומי עליה וירידה
- תחומי חיוביות ושליליות
- קצב שינוי של פונקציה
- נקודות פיתול
- נקודות חיתוך בין פונקציות
מטרות לימודיות:
- אפיון קשרים בין גרף של פונקציית פולינום \(f(x)\) לבין גרף הפונקציה \(f^3(x)\), בלי הכרח להיעזר בנגזרת.
- נקודות הפיתול של הפונקציה \(f^3(x)\) בנקודות האפס, בהן שיפוע המשיק אפס (בהקבלה למעבר מ- \(x\) ל- \(x^3\)).
- נקודות חיתוך בין הפונקציות \(f(x)\) ו- \(f^3(x)\) והמצב ההדדי ביניהן.
סוג הדירוג:
שלוש מדרגות: בכל מדרגה יש לסרטט את הגרף של \(f^3(x)\) כאשר הגרף הנתון של \(f(x)\) מכיל פחות נקודות קיצון ו/או נקודות חיתוך עם ה-\(x\) ביחס למדרגה הקודמת.
משימת המטרה:
פולינום ולו שתי נקודות חיתוך עם ציר ה-\(x\) ונקודת השקה אחת ושלוש נקודות קיצון.
מדרגה 1:
פולינום ולו שתי נקודות חיתוך עם ציר ה-\(x\), ושתי נקודות קיצון.
מדרגה 2:
פרבולה קעורה סימטרית לציר ה-\(y\). נקודת המינימום שלה היא \((0,-1.5)\).
מדרגה 3:
שתי פונקציות, האחת קו ישר והשניה פרבולה שנקודת המינימום שלה היא \((0,0)\).
שיטת הוראה:
בכיתה:
התלמידים יעבדו (רצוי בזוגות) בהתאם למדרגה בה הם בוחרים או בהתאם להכוונת המורה. רצוי להיעזר ביישומונים המצורפים.
בדיון בכיתה רצוי לדון בנקודות הבאות:
- אם \(0<a<b\), מה הסדר בין הגדלים של \(a^3\) ו- \(b^3\)?
ואם \(a<b<0\), מה הסדר בין הגדלים של \(a^3\) ו- \(b^3\)?
(ניתן להיעזר בדוגמאות מספריות) - כיצד תכונות אלה של מספרים קשורות לתחומי עליה וירידה של \(f^3(x)\) ולנקודות הקיצון?
- אם \(f(x)=0\) אז \(f^3(x)=?\)
אם \(f(x)=1\) אז \(f^3(x)=?\)
אם \(f(x)=-1\) אז \(f^3(x)=?\)
לפיכך, אילו נקודות יכולות להיות נקודות משותפות ל- \(f(x)\) ול \(f^3(x)\)? - כאשר מעלים בשלישית מספר בין \(0\) ל- \(1\), האם התוצאה גדלה או קטנה?
(ניתן להיעזר בדוגמאות מספריות). - כאשר מעלים בשלישית מספר הגדול מ- \(1\), האם התוצאה גדלה או קטנה?
- כאשר מעלים בשלישית מספר בין \(-1\) ל- \(0\), האם התוצאה גדלה או קטנה?
- כאשר מעלים בשלישית מספר הקטן מ- \(-1\), האם התוצאה גדלה או קטנה?
- אם כך מה ניתן להסיק?
- עבור אילו ערכי \(f(x)\) מתקיים ש: \(f(x)<f^3(x)\)?
עבור אילו ערכי \(f(x)\) מתקיים ש: \(f(x)>f^3(x)\)? - מדוע בנקודות החיתוך של \(f(x)\) עם ציר ה- \(x\) יש ל- \(f^3(x)\) נקודות פיתול? (מה קורה לקצב השינוי של הפונקציה?)
שימוש ביישומונים:
בכל בעיה ובכל שלב השימוש ביישומונים הוא לצורך בדיקה, לאחר שתלמיד חשב על השאלה והגיע למסקנות הנידרשות. אם תלמיד טעה / או לא ידע, שימוש ביישומונים יכול לעזור לו, אבל חשוב שתלמיד יידע לנמק את תשובותיו לאחר שנעזר ביישומון.
שיעורי בית:
סיום המשימה. ניתן לעבור למשימות נוספות בנושא זה.
משימות מומלצות:
משימה מקדימה:
משימות המשך למשימה זו:
\(f(x)\)
תחום הגדרה: כל \(x\)
נקודות חיתוך עם הצירים: \((1.5,0)\) , \((-1.5,0)\)
נקודות קיצון: מינימום \((1.1,-1.3)\) , \((-1.1,-1.3)\), מקסימום \((0,0)\)
שימו לב גם לנקודות החיתוך בין \(f(x)\) ל-\(f^3(x)\) ולמצב ההדדי ביניהן.
שימו לב להתנהגות הפונקציה \(f^3(x)\) בסביבת נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-\(x\).
תוכלו לסרטט ולבדוק תשובותיכם בעזרת היישומון המצורף.
סעיף ב
\(f(x)\)היא פונקציית פולינום כלשהו.
אילו קשרים מצאתם שקיימים בין גרף הפונקציה \(f(x)\) לבין גרף הפונקציה \(f^3(x)\)? נמקו תשובתכם.
תוכלו לבדוק קשרים בין \(f(x)\) ל-\(f^3(x)\) עבור פונקציות נוספות בעזרת היישומונים הדינאמיים המצורפים.
- במידת הצורך פתרו את הבעיות במדרגה 1.
- מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות במקומות המתאימים להן.
- יש להיעזר בעיפרון
שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה. - ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות.
- במידת הצורך, ניתן להציג שיקוף של הנקודה האדומה על ידי בחירה של האפשרות המתאימה בתפריט שבתחתית היישומון: שיקוף בציר ה-\(x\) או בציר ה-\(y\).
- למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים
ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ 
בתפריט העליון. - כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול
שבפינה הימנית העליונה.
- ניתן להזיז את הפולינום הזזה אופקית ואנכית בעזרת גרירת הנקודה הכתומה.
- ניתן לשנות את הגרף הנתון על-ידי: שינוי הפרמטרים \(k\) , \(d\) , \(n\) בעזרת סרגלי הגרירה. (נסו תחילה להבין מהי המשמעות של כל אחד מהפרמטרים)
- ניתן להזיז את הפרבולה הזזה אופקית ואנכית בעזרת גרירת הנקודה האדומה.
- ניתן למתוח את הפרבולה ואף להפוך אותה בעזרת גרירת הנקודה הכחולה.
\(h(x)\)
תחום הגדרה: כל \(x\)
נקודות חיתוך עם הצירים: \((1,0)\) , \((0,0)\)
נקודות קיצון: מקסימום \((0.3,1)\), מינימום \((1,0)\)
שימו לב גם לנקודות החיתוך בין \(h(x)\) ל-\(h^3(x)\) ולמצב ההדדי ביניהן.
שימו לב להתנהגות הפונקציה \(h^3(x)\) בסביבת נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-\(x\).
תוכלו לסרטט ולבדוק תשובותיכם בעזרת היישומון המצורף.
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 1, פתרו את בעיית המטרה.
- או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 2.
- מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות במקומות המתאימים להן.
- יש להיעזר בעיפרון שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה.
- ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות.
- במידת הצורך, ניתן להציג שיקוף של הנקודה האדומה על ידי בחירה של האפשרות המתאימה בתפריט שבתחתית היישומון: שיקוף בציר ה-\(x\) או בציר ה-\(y\).
- למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בתפריט העליון.
- כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.
\(t(x)\)
תחום הגדרה: כל \(x\)
נקודות חיתוך עם הצירים: \((1.2,0)\) , \((-1.2,0)\)
נקודת קיצון: מינימום \((0,-1.5)\)
שימו לב גם לנקודות החיתוך בין \(t(x)\) ל-\(t^3(x)\) ולמצב ההדדי ביניהן.
שימו לב להתנהגות הפונקציה \(t^3(x)\) בסביבת נקודות החיתוך שלה עם ציר ה- \(x\).
תוכלו לסרטט ולבדוק תשובותיכם בעזרת היישומון המצורף.
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 2, פתרו את בעיית המטרה.
- או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 3.
- מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות במקומות המתאימים להן.
- יש להיעזר בעיפרון שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה.
- ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות.
- במידת הצורך, ניתן להציג שיקוף של הנקודה האדומה על ידי בחירה של האפשרות המתאימה בתפריט שבתחתית היישומון: שיקוף בציר ה-\(x\) או בציר ה-\(y\).
- למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בתפריט העליון.
- כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.
\(g(x)\)
\(p(x)\)
נקודת חיתוך עם הצירים: \((0,0)\)
תחום הגדרה: כל \(x\)
נקודת חיתוך עם הצירים: \((0,0)\)
נקודת קיצון: מינימום \((0,0)\)
שימו לב, בכל אחד מהסעיפים, גם לנקודות החיתוך בין הגרפים ולמצב ההדדי ביניהם.
שימו לב להתנהגות הפונקציות, בכל אחד מהסעיפים, בסביבת נקודות החיתוך שלהן עם ציר ה- \(x\).
תוכלו לסרטט ולבדוק תשובותיכם בעזרת היישומון המצורף.
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 3, פתרו את בעיית המטרה.
- מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות במקומות המתאימים להן.
- יש להיעזר בעיפרון שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה.
- ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות.
- במידת הצורך, ניתן להציג שיקוף של הנקודה האדומה על ידי בחירה של האפשרות המתאימה בתפריט שבתחתית היישומון: שיקוף בציר ה-\(x\) או בציר ה-\(y\).
- למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בתפריט העליון.
- כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.