משפט תלמי - למורה

משימה לתלמיד

דף למורה

מבנה המשימה

יישומונים

חומר לימוד:

חזרה וביסוס של הידע בגיאומטריה ואפשרות של שילוב עם טריגונומטריה.

כיתה:

כיתה י' או י"א

מבנה המשימה:

בעיית מטרה ושלוש מדרגות, לכל סעיף מותאמים יישומונים.

ידע קודם:

הפעילות מתאימה לשימוש באחד משני שלבים בהוראה:

  • בסיום לימודי הגיאומטריה, ללא שילוב טריגונומטריה:
    • דמיון משולשים.
    • זוויות היקפיות ומיתרים במעגל.
    • תכונות מרובע חסום במעגל.
    • שטחים.
  • בשילוב טריגונומטריה, לשימוש ב:
    • נוסחה למציאת שטח משולש בטריגונומטריה (לא הכרחי).

מטרות לימודיות:          

  • חזרה, ביסוס והעמקה של מכלול הידע בגיאומטריה.
  • פתרון חלק מהבעיות בדרכים שונות.

משימת המטרה:

שני סעיפים: בסעיף א' הוכחת משפט תלמי ובסעיף ב' בעיה נוספת בה ניתן ליישם את משפט תלמי.

מדרגה 1:

טיפול בשאלה חלקית לזו המופיעה בבעיית המטרה. השאלה מתמקדת בזוג משולשים דומים, בשילוב יישומון.

מדרגה 2:

שאלה המתמקדת בטרפז שווה שוקיים.

מדרגה 3:

בדומה למדרגה 2 אך ההתמקדות בהיבט מצומצם יותר של השאלות.

שיטת הוראה:

בכיתה:

התלמידים יעבדו בזוגות או כיחידים. יעברו בין המדרגות השונות לפי בקשתם או לפי הנחיית המורה.

הערה:

המשימה: "קשר בין אלכסוני מרובע לצלעותיו" היא משימה מקדימה למשימה זו.

המשימה המקדימה מתמקדת בהוכחת משפט תלמי במקרים פרטיים (ללא שימוש במשפט): במלבן, טרפז שווה שוקיים ובדלתון בו זוויות הנגדיות ישרות.

יחד עם זאת ניתן להפעיל כל אחת מהמשימות הללו בנפרד.

שימוש ביישומונים:

לכל אחת מהמדרגות יש יישומון.

הערות נוספות למורה

  • ניתן לבקש מהתלמידים לחפש באינטרנט מידע לגבי האיש תלמי ומקומו בהיסטוריה של המתמטיקה
  • ניתן להמשיך ולהוכיח את משפט הקוסינוסים בעזרת משפט תלמי (כמובן, במקרה בו לא נעשה שימוש במשפט זה לפתרון המשימה)
  • ניתן להרחיב את משפט תלמי

משימות מומלצות

בעיית מטרה

  1. משפט תלמי:
    הוכיחו: במרובע חסום במעגל, מכפלת האורכים של אלכסוניו שווה לסכום המכפלות של אורכי הצלעות הנגדיות שלו.
ptolemy-theorem--pic01

בניית עזר: העבירו קטע \(BE\) כך ש: \(\measuredangle CBD=\measuredangle ABE\)

  1. משולש \(ABC\) חסום במעגל.
ptolemy-theorem--pic02

ונתון כי: \(AB=AC=BC\)

הנקודה \(D\) נמצאת על הקשת הקטנה \(BC\).

בטאו את שטח המרובע \(ABDC\) בעזרת \(AD\).

  • במידת הצורך פתרו את הבעיות במדרגה 1.

פתרון לבעיית המטרה, סעיף 2

לפי משפט תלמי:

\(AD=BD+DC\)

באמצעות הורדת אנכים לאלכסון \(AD\) ושימוש במשפט פיתגורס במשולש 30, 60, 90, או מתוך שיקולים טריגונומטריים מקבלים:

\(S_{ABDC}=\Large\frac{\sqrt{3}\cdot{AD}^2}{4}\)

מדרגה 1

נתון כי מרובע \(ABCD\) חסום במעגל ו- \(\measuredangle CBD=\measuredangle ABE\).
ptolemy-theorem--pic03a
  1. מצאו משולשים דומים בסרטוט.
  2. הוכיחו כי:  \(AD \cdot BC = DB \cdot EC\)
    תוכלו להיעזר ביישומון.
  • אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 1, פתרו את בעיית המטרה.
  • או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 2.

יישומון

מדרגה 2

\(ABCD\) הוא טרפז \((AD∥BC)\) שווה שוקיים \((AB=DC)\) החסום במעגל.

ptolemy-theorem--pic04a

ונתון כי: \(\measuredangle CBD=\measuredangle ABE\).

  1. הוכיחו כי: \(\measuredangle BEC=\measuredangle DAB\).
  2. הוכיחו כי: \(AB \cdot DC + AD \cdot BC= DB \cdot AC\)

תוכלו להיעזר ביישומון.

  • אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 2, פתרו את בעיית המטרה.
  • או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 3.

יישומון

מדרגה 3

\(ABCD\) הוא טרפז \((AD∥BC)\) שווה שוקיים \((AB=DC)\) החסום במעגל,

ונתון כי: \(\measuredangle CBD=\measuredangle ABE\).

ptolemy-theorem--pic04a

הוכיחו כי: \(AB^2= AE \cdot BD\)

תוכלו להיעזר ביישומון.

יישומון