פונקציות עם שורשים ריבועיים – מה ההבדל בינינו? חלק א' - למורה
חומר לימוד:
חקירת פונקציות עם שורשים ריבועיים
כיתה:
כיתה י"א
מבנה המשימה:
בעיית מטרה, בעיית אתגר ושלוש מדרגות. מומלץ להיעזר במחולל גרפים רק לצורך בדיקה.
ידע קודם:
- חוקי חזקות/שורשים (ללא התייחסות לשורש ריבועי כמעריך שבור). הכרות עם פונקציית השורש הריבועי, מיומנויות חקירת פונקציות באמצעות נגזרות.
- הכרות עם פונקציית השורש הריבועי
- מיומנויות חקירת פונקציות באמצעות נגזרות.
מטרות לימודיות:
- בחינת ההבדלים בין: שורש של מכפלה למכפלת שורשים
- בחינת ההבדלים בין שורש של מנה למנת השורשים
- בחינת ההבדלים בין שורש של לבין וכד'.
משימת המטרה:
מופיעים במשימה שני פרמטרים.
מדרגה 1:
מופיע פרמטר אחד בלבד.
מדרגה 2:
לא מופיעים פרמטרים כלל, רק מקרים פרטיים.
מדרגה 3:
נדרשת התאמה בין פונקציות ללא פרמטרים לגרפים נתונים.
שיטת הוראה:
בכיתה:
עבודה עצמאית או בזוגות. המורה יחלק את בעיית המטרה לכולם. מי שמתקשה, יבחר בעצמו את המדרגה המתאימה.
שימוש ביישומונים:
מומלץ להשתמש במחולל גרפים (כמו: geogebra או desmos) רק לצורך בדיקה. (לבעיות לא קיימים יישומונים).
שיעורי בית:
סיום המשימה.
משימות מומלצות:
בעיית מטרה
לפניכם ארבעה זוגות של פונקציות. ומשפחת פונקציות אחת. נתון: \(a,b>0\).
בכל אחד מהסעיפים הבאים:
- בחנו את תחום ההגדרה של הפונקציות השונות.
- אפיינו את ההשפעה של השורש הריבועי על תחום ההגדרה ועל המראה של הגרף בקצוות התחום.
- השתמשו במחולל גרפים (כמו: geogebra או desmos) רק לצורך בדיקה. (לבעיה לא קיים יישומון).
- \(f_{1}(x)=\sqrt{(x-a)\cdot(x+b)}\) לעומת: \(f_{2}(x)=\sqrt{x-a}\cdot\sqrt{x+b}\)
\(\space\) - \(f_{3}(x)=\sqrt{\Large\frac{x-a}{x+b}}\) לעומת: \(f_{4}(x)=\Large\frac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x+b}}\)
\(\space\) - \(f_{5}(x)=\sqrt{(a-x)\cdot(x+b)}\) לעומת: \(f_{6}(x)=\sqrt{a-x}\cdot\sqrt{x+b}\)
\(\space\) - \(f_{7}(x)=\sqrt{\Large\frac{a-x}{x+b}}\) לעומת: \(f_{8}(x)=\Large\frac{\sqrt{a-x}}{\sqrt{x+b}}\)
\(\space\) - משפחת הפונקציות: \(f_{n}(x)=\sqrt{(a-x^2)^n}\) עבור \(n\) טבעי.
- במידה ופתרתם עיברו לבעיית האתגר .
- במידת הצורך פתרו את הבעיות במדרגה 1.
מדרגה 1
לפניכם ארבעה זוגות של פונקציות. נתון: \(a>0\).
בכל אחד מהסעיפים הבאים:
- בחנו את תחום ההגדרה של הפונקציות השונות.
- אפיינו את ההשפעה של השורש הריבועי על תחום ההגדרה ועל המראה של הגרף בקצוות התחום.
- השתמשו במחולל גרפים (כמו: geogebra או desmos) רק לצורך בדיקה. (לבעיה לא קיים יישומון).
- \(f_{1}(x)=\sqrt{(x-a)\cdot(x+a)}\) לעומת: \(f_{2}(x)=\sqrt{x-a}\cdot\sqrt{x+a}\)
\(\space\) - \(f_{3}(x)=\sqrt{\Large\frac{x-a}{x+a}}\) לעומת: \(f_{4}(x)=\Large\frac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x+a}}\)
\(\space\) - \(f_{5}(x)=\sqrt{(a-x)\cdot(x+a)}\) לעומת: \(f_{6}(x)=\sqrt{a-x}\cdot\sqrt{x+a}\)
\(\space\) - \(f_{7}(x)=\sqrt{\Large\frac{a-x}{x+a}}\) לעומת: \(f_{8}(x)=\Large\frac{\sqrt{a-x}}{\sqrt{x+a}}\)
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 1, פתרו את בעיית המטרה.
- או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 2.
1.
\(f_{1}(x)=\sqrt{1-x^2}\)
\(f_{2}(x)=\sqrt{1-x}\cdot\sqrt{1+x}\)
2.
\(f_{2}(x)=\sqrt{(x-2)(x+4)}\)
\(f_{4}(x)=\sqrt{x-2}\cdot\sqrt{x+4}\)
3.
\(f_{5}(x)=\sqrt{(4-x)^3}\)
\(f_{6}(x)=\sqrt{(4-x)^4}\)
- בכל אחת מהפונקציות קבעו את תחום ההגדרה וסרטטו את גרף הפונקציה.
- בדקו את תשובותיכם במחולל גרפים (כמו: geogebra או desmos). (לבעיה לא קיים יישומון).
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 2, פתרו את בעיית המטרה.
- או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 3.
א
ב
\(f_{1}(x)=-\sqrt{1-x^2}\)
\(f_{2}(x)=\sqrt{(x-1)}\cdot\sqrt{(x+1)}\)
\(f_{3}(x)=\sqrt{x^2-1}\)
ג
ד
\(f_{4}(x)=\Large\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}\)
\(f_{5}(x)=\sqrt{\Large\frac{x-1}{x+1}}\)
\(f_{6}(x)=\Large\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{x+1}}\)
ה
ו
\(f_{7}(x)=\sqrt{(1-x^2)^2}\)
\(f_{8}(x)=\sqrt{(1-x^2)^5}\)
\(f_{9}(x)=\sqrt{(1-x^2)^4}\)
- לכל אחד מהגרפים התאימו ביטוי מתוך שלושת הביטויים, אשר בשורה שלו, והוסיפו בעצמכם גרף עבור הביטוי הנותר בכל שורה.
- נסו להציע סקיצות ללא חקירה וללא שימוש במחולל גרפים.
- בידקו עצמכם באמצעות מחולל גרפים (כמו: geogebra או desmos). (לבעיה לא קיים יישומון).
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 3, פתרו את בעיית המטרה.
א
ב
\(f_{13}(x)=\sqrt{\Large\frac{x}{10-3x-x^2}}\)
\(f_{15}(x)=\sqrt{\Large\frac{x}{x^2+3x-10}}\)
\(f_{14}(x)=\sqrt{x^3-3x^2-10x}\)
\(f_{16}(x)=\sqrt{\Large\frac{x(x+5)}{x-2}}\)
- לכל אחד מהגרפים התאימו ביטוי מתוך ארבעת הביטויים, הוסיפו בעצמכם גרפים עבור הביטויים הנותרים.
- נסו להציע סקיצות ללא חקירה וללא שימוש במחולל גרפים.
- בידקו עצמכם באמצעות מחולל גרפים (כמו: geogebra או desmos). (לבעייה לא קיים יישומון).