פתרונות חלקיים לבעיית המטרה

סעיף א

בוחרים שלושה מטבעות באופן הבא:
ראשית בוחרים שק, ואז מוציאים ממנו שלושה מטבעות.

1. מהי ההסתברות שנבחרו שלושה מטבעות זהב?
   ההסתברות לבחור שק ירוק: \(\Large\frac{2}{9}\), ההסתברות לבחור שק אדום: \(\Large\frac{3}{9}\), ההסתברות לבחור שק כחול: \(\Large\frac{4}{9}\).
   לכן:
   ההסתברות לבחור שלושה מטבעות זהב מהשק הירוק: \(\Large\frac{2}{9}\normalsize\cdot(0.1)^3\) ,
   וההסתברות לבחור שלושה מטבעות זהב מהשק הירוק, האדום או הכחול, היא: \(\Large\frac{2}{9}\normalsize\cdot(0.1)^3+\Large\frac{3}{9}\normalsize\cdot(0.18)^3+\Large\frac{4}{9}\normalsize\cdot(0.2)^3=0.005722\)
   \(\space\)
2. מהי ההסתברות שנבחר מטבע זהב אחד בדיוק?
   משיקולים דומים: בכל שק יש 3 אפשרויות לבחור מטבע זהב אחד בדיוק (ראשון, שני או שלישי) ולכן:
   \(\Large\frac{2}{9}\normalsize\cdot3\cdot(0.1)\cdot(0.9)^2+\Large\frac{3}{9}\normalsize\cdot3\cdot(0.18)\cdot(0.82)^2+\Large\frac{4}{9}\normalsize\cdot3\cdot(0.2)\cdot(0.8)^2=0.345699\)
   \(\space\)
3. מהי ההסתברות שנבחר לפחות מטבע זהב אחד?
   מטבע זהב אחד לפחות – רק לא שלושה מטבעות כסף, לכן: \(1-\Large\frac{2}{9}\normalsize\cdot(0.9)^3+\Large\frac{3}{9}\normalsize\cdot(0.82)^3+\Large\frac{4}{9}\normalsize\cdot(0.8)^3=0.426655\)
   \(\space\)
4. ידוע שנבחר מטבע זהב אחד בדיוק. מהי ההסתברות שהוא נבחר מהשק האדום?
   ההסתברות לבחור מטבע זהב אחד בדיוק מתוך שלושה, מהשק האדום היא: \(\Large\frac{3}{9}\normalsize\cdot3\cdot(0.18)\cdot(0.82)^2\) (*)
   לכן, לפי (2), מנת התוצאות בין (*) ל-(2) היא ההסתברות המבוקשת.

   כדאי לשים לב לעובדה הבאה:
   בחישוב הסתברות מותנית: \(P(A|B)=\Large\frac{P(A∩B)}{P(B)}\) , המנה היא בין חיתוך מאורעות למאורע כולל.
   בשאלה שלנו החיתוך בין \(A\) ל-\(B\), הוא \(A\) בעצמו. לכן התוצאה היא מנת הביטויים שכבר חישבנו.

סעיף ב

בוחרים שלושה מטבעות, לא בהכרח כולם מאותו השק.
כלומר: בתהליך הבחירה, עבור בחירת כל מטבע, בוחרים מחדש מאיזה שק להוציאו.

1. מהי ההסתברות לבחור שלושה מטבעות זהב?
   כאן, לפני בחירת מטבע בוחרים שק. לכן: \([\Large\frac{2}{9}\normalsize\cdot(0.1)+\Large\frac{3}{9}\normalsize\cdot(0.18)+\Large\frac{4}{9}\normalsize\cdot(0.2)]^3=0.005010\)
   \(\space\)
2. מהי ההסתברות שנבחר מטבע זהב אחד בדיוק?
   נסמן: \([\Large\frac{2}{9}\normalsize\cdot(0.1)+\Large\frac{3}{9}\normalsize\cdot(0.18)+\Large\frac{4}{9}\normalsize\cdot(0.2)]=p\) , אזי: \(3p(1-p)^2\)
   \(\space\)
3. מהי ההסתברות שנבחר לפחות מטבע זהב אחד?
   באופן דומה לשאלה קודמת: רק לא כולם כסף, לכן: \(1-(1-p)^3=0.430506\).
   \(\space\)
4. ידוע שנבחר מטבע זהב אחד בדיוק. מהי ההסתברות שהוא נבחר מהשק האדום?
   \(\large P(םודאה\spaceקשהמ\spaceבהז\spaceעבטמ\spaceרחבנ \space|\spaceקוידב\spaceדחא\spaceבהז\spaceעבטמ\spaceרחבנ\space)=\LARGE\frac{P(\spaceםודאה\spaceקשהמ\spaceבהז\spaceעבטמ\spaceרחבנ\space∩\spaceקוידב\spaceדחא\spaceבהז\spaceעבטמ\spaceרחבנ\space)}{P(קוידב\spaceדחא\spaceבהז\spaceעבטמ\spaceרחבנ)}\)

   החישוב כאן לא מיידי, היות והמאורע הידוע אינו מכיל את כל המאורע המותנה. במאורע המותנה אפשר שיהיו בסה"כ יותר ממטבע זהב אחד.

   אם כך צריך לחשב את ההסתברות של החיתוך, תוך חשיבה ישירה על תיאור מאורע החיתוך. אין להשתמש בכפל הסתברויות פשוט, היות ולא דנו בסוגיה האם המאורעות תלויים או לא.

   החיתוך בין: "נבחר מטבע זהב אחד בדיוק" לבין: "נבחר מטבע זהב מהשק האדום (לפחות אחד, ואולי נבחרו מטבעות זהב אחרים משקים אחרים, או שנבחרו מטבעות כסף בלי חשיבות מאיזה שק)" הוא: "נבחר מטבע זהב מהשק האדום והוא מטבע הזהב היחיד שנבחר מכל השקים", כלומר: המטבע הראשון, השני או השלישי שנבחר הוא זהב מהשק האדום, והשניים האחרים הם כסף ואין חשיבות מאיזה שק נבחרו. לכן:
   \(\Large\frac{3\cdot\LARGE\frac{2}{9}\Large\cdot(0.1)[\LARGE\frac{2}{9}\Large\cdot(0.9)+\LARGE\frac{3}{9}\Large\cdot(0.82)+\LARGE\frac{4}{9}\Large\cdot(0.8)]^2}{3p(1-p)^2}=\Large\frac{3\cdot\LARGE\frac{2}{9}\Large\cdot(0.1)(1-p)^2}{3p(1-p)^2}=\Large\frac{\LARGE\frac{2}{9}\Large\cdot(0.1)}{\LARGE\frac{2}{9}\Large\cdot(0.1)+\LARGE\frac{3}{9}\Large\cdot(0.18)+\LARGE\frac{4}{9}\Large\cdot(0.2)}=\Large\frac{10}{77}\)

   בדרך אחרת אפשר להגיע לחישוב זהה:
   כאשר אין חשיבות לשקים אפשר לדמיין שכל המטבעות נמצאים בערימה אחת. ההסתברות לבחור מטבע זהב מהערימה כולה היא: \(p=\Large\frac{2}{9}\normalsize\cdot(0.1)+\Large\frac{3}{9}\normalsize\cdot(0.18)+\Large\frac{4}{9}\normalsize\cdot(0.2)\).

   ההסתברות לבחור מהערימה כולה מטבע זהב שמקורו בשק האדום היא: \(\Large\frac{2}{9}\normalsize\cdot(0.1)\).

   כאשר צריך לבחור מטבע זהב אחד בדיוק מתוך שלושה, ובוחרים מכל הערימה, ההסתברות לבחור מטבע כסף היא, כמובן, \(1-p\), והחישוב זהה לזה שתואר לעיל.

סעיף ג

התאימו "סיפור" (תהליך בחירה, או שאלה) לכל אחד מהחישובים הבאים:

1. \(\Large\frac{2}{9}\normalsize\cdot3\cdot0.9\cdot0.1^2+\Large\frac{3}{9}\normalsize\cdot3\cdot0.82\cdot0.18^2+\Large\frac{4}{9}\normalsize\cdot3\cdot0.8\cdot0.2^2\)
   זוהי ההסתברות לבחור שני מטבעות זהב מאחד מהשקים.
   \(\space\)
2. \(3\cdot(\Large\frac{2}{9}\normalsize\cdot0.1+\Large\frac{3}{9}\normalsize\cdot0.18+\Large\frac{4}{9}\normalsize\cdot0.2)^2\cdot(\Large\frac{2}{9}\normalsize\cdot0.9+\Large\frac{3}{9}\normalsize\cdot0.82+\Large\frac{4}{9}\normalsize\cdot0.8)\)
   זוהי ההסתברות לבחור שני מטבעות זהב "מהערימה כולה" – כלומר, כאשר בוחרים מחדש את השק לפני הוצאה של כל מטבע.
   \(\space\)
3. \(\Large\frac{2}{9}\normalsize\cdot0.9\cdot0.1^2\)
   זוהי ההסתברות לבחור שני מטבעות זהב ואחד כסף מהשק הירוק בסדר מסוים, למשל, שני המטבעות הראשונים מתוך שלושה הם זהב והשלישי כסף. כלומר: קודם בוחרים את השק ואז מוציאים ממנו שלושה מטבעות לפי סדר מסוים.
   \(\space\)
4. \(\Large\frac{3\cdot\LARGE\frac{4}{9}\Large\cdot0.82\cdot0.18^2}{3\cdot(\LARGE\frac{2}{9}\Large\cdot0.9\cdot0.1^2+\LARGE\frac{3}{9}\Large\cdot0.82\cdot0.18^2+\LARGE\frac{4}{9}\Large\cdot0.8\cdot0.2^2)}\)
   זוהי הסתברות המותנית להוצאת שני מטבעות זהב בדיוק מהשק הכחול, כשידוע שהוצאו שני מטבעות זהב בדיוק.