חזקה טבעית של פונקציה - חלק א' - חזקה שניה \(f^2{(x)}\) - למורה
חומר לימוד:
סרטוט הגרף של הפונקציה \(f^2(x)\), כאשר נתון הגרף של הפונקציה \(f(x)\) [\(f(x)\) פולינום]. התחלת הוראת הנושא.
כיתה:
כיתה י'
מבנה המשימה:
בעיית מטרה ושלוש בעיות מדרגה. לכל אחת מהבעיות מצורפים יישומונים.
ידע קודם:
- הכרת הפונקציות \(x^n\) (\(n\) טבעי)
תכונות של פונקציה, כגון:
- נקודות חיתוך עם הצירים
- נקודות קיצון וסוגן
- תחומי עליה וירידה
- תחומי חיוביות ושליליות
- קצב שינוי של פונקציה
- נקודות פיתול
- נקודות חיתוך בין פונקציות
מטרות לימודיות:
- אפיון קשרים בין תכונות גרף של פונקציית פולינום \(f(x)\) לבין גרף הפונקציה \(f^2(x)\), בלי הכרח להיעזר בנגזרת.
- נקודות חיתוך בין הפונקציות והמצב ההדדי ביניהן.
סוג הדירוג:
שלוש מדרגות: בכל אחת מהמדרגות נתונים גרפים, מידת המורכבות יורדת בין המדרגות.
משימת המטרה:
נתונים שני גרפים של פולינומים ממעלה שלישית. כל אחד מהפולינומים חותך את ציר ה-\(x\) בשלוש נקודות ויש לו שתי נקודות קיצון.
מדרגה 1:
נתונות שתי פונקציות, האחת נמצאת כולה מתחת לציר ה-\(x\), השניה פרבולה קעורה כלפי מטה.
מדרגה 2:
נתונות שתי פרבולות סימטריות לגבי ציר ה-\(y\). נקודת המקסימום של האחת היא \((0,1)\), נקודת המינימום של השניה היא \((0,-2.3)\).
מדרגה 3:
נתונות שתי פרבולות קעורות כלפי מעלה, סימטריות לציר ה-\(y\). באחת נקודת הקיצון היא \((0,0)\) ובשניה \((0,0.5)\).
שיטת הוראה:
בכיתה:
התלמידים יעבדו (רצוי בזוגות) בהתאם למדרגה בה הם בוחרים או בהתאם להכוונת המורה. רצוי להיעזר ביישומונים המצורפים.
שימוש ביישומונים:
בכל בעיה ובכל שלב השימוש ביישומונים הוא לצורך בדיקה, לאחר שתלמיד חשב על השאלה והגיע למסקנות הנידרשות. אם תלמיד טעה / או לא ידע, שימוש ביישומונים יכול לעזור לו, אבל חשוב שתלמיד יידע לנמק את תשובותיו לאחר שנעזר ביישומון .
שיעורי בית:
סיום המשימה. ניתן להמשיך למשימות נוספות.
משימות מומלצות:
משימות המשך למשימה זו:
\(f_1(x)\)
\(f_2(x)\)
תחום הגדרה: כל \(x\)
נקודות חיתוך עם הצירים: \((2,0)\) , \((0 , 0)\) , \((-2,0)\)
נקודות קיצון: מקסימום \((-1.2,1.9)\) , מינימום \((1.2, -1.9)\)
תחום הגדרה: כל \(x\)
נקודות חיתוך עם הצירים: \((0,3.1)\) , \((0.6,0)\) , \((0,-0.4)\) , \((-2.2,0)\)
נקודות קיצון: מקסימום: \((2.03,0.6)\) , מינימום \((-1.03,-0.8)\)
שימו לב גם לנקודות החיתוך בין \(f_n(x)\) ל-\(f_n\space^2(x)\) ולמצב ההדדי ביניהן.
תוכלו לסרטט ולבדוק תשובותיכם בעזרת היישומון המצורף.
סעיף ב
\(f(x)\)היא פונקציית פולינום כלשהו.
אילו קשרים מצאתם שקיימים בין גרף הפונקציה \(f(x)\) לבין גרף הפונקציה \(f^2(x)\)? נמקו תשובתכם.
תוכלו לבדוק קשרים בין \(f_n(x)\) ל-\(f_n\space^2(x)\) עבור פונקציות נוספות בעזרת היישומון הדינאמי המצורף.
- במידת הצורך פתרו את הבעיות במדרגה 1.
- מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות במקומות המתאימים להן.
- יש להיעזר בעיפרון
שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה. - ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות.
- כדי לעבור לפונקציה האחרת יש ללחוץ על שנה פונקציה, הכפתור הצהוב, בתפריט שבתחתית היישומון.
- במידת הצורך, ניתן להציג שיקוף של הנקודה האדומה על ידי בחירה של האפשרות המתאימה בתפריט שבתחתית היישומון: שיקוף בציר ה-\(x\) או בציר ה-\(y\).
- למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים
ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ 
בתפריט העליון. - כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול
שבפינה הימנית העליונה.
- ניתן להזיז את הפולינום הזזה אופקית ואנכית בעזרת גרירת הנקודה הכתומה.
- ניתן לשנות את הגרף הנתון על-ידי: שינוי הפרמטרים \(k\) , \(d\) , \(n\) בעזרת סרגלי הגרירה. (נסו תחילה להבין מהי המשמעות של כל אחד מהפרמטרים)
\(h_1(x)\)
\(h_2(x)\)
תחום הגדרה: כל \(x\)
נקודות חיתוך עם הצירים: \((1,0)\) , \((0,2.3)\) , \((-3,0)\)
נקודות קיצון: \((-1,3)\)
תחום הגדרה: כל \(x\)
נקודת חיתוך עם הצירים: \((0,-2.5)\)
נקודות קיצון: מקסימום \((2,-0.5)\) , \((-1,-0.5)\) , מינימום \((0.5,-3.03)\)
שימו לב גם לנקודות החיתוך בין \(h_n(x)\) ל-\(h_n\space^2(x)\) ולמצב ההדדי ביניהן.
תוכלו לסרטט ולבדוק תשובותיכם בעזרת היישומון המצורף.
סעיף ב
אם \(0<a<b\) מה הסדר בין הגדלים של \(a^2\) ו- \(b^2\)?
ומה קורה כאשר \( a<b<0\)?
- עבור אילו ערכי \(f(x)\) מתקיים: \(f(x)<f^2(x)\)?
- עבור אילו ערכי \(f(x)\) מתקיים: \(f(x)>f^2(x)\)?
- באילו מקרים לפונקציה \(f(x)\) ולפונקציה \(f^2(x)\) יש אותו מספר של נקודות קיצון?
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 1, פתרו את בעיית המטרה.
- או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 2.
- מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות במקומות המתאימים להן.
- יש להיעזר בעיפרון שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה.
- ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות.
- כדי לעבור לפונקציה האחרת יש ללחוץ על שנה פונקציה, הכפתור הצהוב, בתפריט שבתחתית היישומון.
- במידת הצורך, ניתן להציג שיקוף של הנקודה האדומה על ידי בחירה של האפשרות המתאימה בתפריט שבתחתית היישומון: שיקוף בציר ה-\(x\) או בציר ה-\(y\).
- למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בתפריט העליון.
- כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.
- ניתן להזיז את הפרבולה הזזה אופקית ואנכית בעזרת גרירת הנקודה הכתומה.
- ניתן לשנות את הגרף הנתון על-ידי: שינוי הפרמטרים \(k\) , \(d\) , \(n\) בעזרת סרגלי הגרירה. (נסו תחילה להבין מהי המשמעות של כל אחד מהפרמטרים)
\(g_1(x)\)
\(g_2(x)\)
תחום הגדרה: כל \(x\)
נקודות חיתוך עם הצירים: \((1,0)\) , \((0,1)\) , \((-1,0)\)
נקודת קיצון: מקסימום \((0,1)\)
תחום הגדרה: כל \(x\)
נקודות חיתוך עם הצירים: \((1.5,0)\) , \((0,-2.3)\), \((-1.5,0)\)
נקודת קיצון: \((0,-2.3)\)
שימו לב גם לנקודות החיתוך בין \(g_n(x)\) ל-\(g_n\space^2(x)\) ולמצב ההדדי ביניהן.
תוכלו לסרטט ולבדוק תשובותיכם בעזרת היישומון המצורף.
סעיף ב
עבור אילו ערכי \(f(x)\) מתקיים ש: \(f(x)=f^2(x)\)?
- אם נקודה \((x_1,y_1)\) היא נקודת מינימום של פונקציה \(f(x)\) וידוע כי \(y_1<0\), מה ניתן לומר על הנקודה \((x_1,(y_1)^2)\) השייכת לפונקציה \(f^2(x)\)?
- אם נקודה \((x_1,y_1)\) היא נקודת מקסימום של פונקציה \(f(x)\) וידוע כי \(y_1<0\), מה ניתן לומר על הנקודה \((x_1,(y_1)^2)\) השייכת לפונקציה \(f^2 (x)\)?
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 2, פתרו את בעיית המטרה.
- או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 3.
- מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות במקומות המתאימים להן.
- יש להיעזר בעיפרון שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה.
- ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות.
- כדי לעבור לפונקציה האחרת יש ללחוץ על שנה פונקציה, הכפתור הצהוב, בתפריט שבתחתית היישומון.
- במידת הצורך, ניתן להציג שיקוף של הנקודה האדומה על ידי בחירה של האפשרות המתאימה בתפריט שבתחתית היישומון: שיקוף בציר ה-\(x\) או בציר ה-\(y\).
- למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בתפריט העליון.
- כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.
- ניתן להזיז את הפרבולה הזזה אופקית ואנכית בעזרת גרירת הנקודה האדומה.
- ניתן למתוח את הפרבולה ואף להפוך אותה בעזרת גרירת הנקודה הכחולה.
\(p_1(x)\)
\(p_2(x)\)
נקודת קיצון: מינימום \((0,0)\)
נקודת קיצון: מינימום \((0,0.5)\)
שימו לב גם לנקודות החיתוך בין \(p_n(x)\) ל-\(p_n\space^2(x)\) ולמצב ההדדי ביניהן.
תוכלו לסרטט ולבדוק תשובותיכם בעזרת היישומון המצורף.
סעיף ב
- כאשר מעלים בריבוע מספר בין 0 ל-1, האם התוצאה גדלה או קטנה? (תוכלו להיעזר בדוגמאות מספריות).
- כאשר מעלים בריבוע מספר גדול מ-1, האם התוצאה גדלה או קטנה?
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 3, פתרו את בעיית המטרה.
- מתוך מחסן הנקודות יש לגרור ולמקם לפחות שבע נקודות במקומות המתאימים להן.
- יש להיעזר בעיפרון שבתפריט העליון, ולסרטט את גרף הפונקציה החדשה.
- ניתן לבצע בדיקה רק לאחר מיקום של לפחות שבע נקודות.
- כדי לעבור לפונקציה האחרת יש ללחוץ על שנה פונקציה, הכפתור הצהוב, בתפריט שבתחתית היישומון.
- במידת הצורך, ניתן להציג שיקוף של הנקודה האדומה על ידי בחירה של האפשרות המתאימה בתפריט שבתחתית היישומון: שיקוף בציר ה-\(x\) או בציר ה-\(y\).
- למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בתפריט העליון.
- כדי ל"נקות" את היישומון ולהתחיל מחדש יש ללחוץ על הכפתור אתחול או להיעזר בחיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.
- ניתן להזיז את הפרבולה הזזה אופקית ואנכית בעזרת גרירת הנקודה האדומה.
- ניתן למתוח את הפרבולה ואף להפוך אותה בעזרת גרירת הנקודה הכחולה.