אינטגרלים: פונקציה ונגזרתה - חלק ג' - למורה
חומר לימוד:
סרטוט סקיצה כללית של פונקציה שהיא פונקציית מכפלה בין פונקציה מעריכית מורכבת ובין הנגזרת הפנימית שלה: \(e^{f(x)}\cdot{f'(x})\), כאשר נתון רק גרף הנגזרת \(f'(x)\) ונתונים פרמטריים נוספים.
סרטוט סקיצה כללית של פונקציה שהיא פונקציית מנה בין נגזרת של פונקציה לבין הפונקציה: \(\Large\frac{f'(x)}{f(x)}\) , כאשר נתון רק גרף הנגזרת \(f'(x)\) ונתונים נוספים פרמטריים.
מציאת אינטגרל של \(f'(x)\cdot{e^{f(x)}}\) וכן של \(\Large\frac{f'(x)}{f(x)}\) ומציאת שטח הקשור לפונקציות אלו בעזרת פרמטרים.
כיתה:
כיתה י"ב
מבנה המשימה:
שאלת סיכום בסיום הפרק על אינטגרלים של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, המתאימה גם לחזרה לקראת בחינות הבגרות.
ידע קודם:
- סרטוט גרף פונקציה על פי גרף הנגזרת, כאשר לנגזרת ולפונקציה יש אסימפטוטה אופקית.
- מציאת פונקציה קדומה על פי זיהוי פונקציה מורכבת וכפל בנגזרת הפנימית וביצוע פעולה הפוכה לכלל השרשרת, מציאת פונקציה קדומה של מנה בין נגזרת של פונקציה לבין הפונקציה.
- חישוב אינטגרל מסוים ומציאת שטח בעזרת אינטגרל מסוים.
מטרות לימודיות:
המשימה שמה דגש על ידע איכותני והבנה של קשרים בין פונקציה לנגזרתה ולא מדגישה טכניקה של אינטגרציה וגזירה.
המשימה שמה דגש על:
- קשרים בין גרף פונקציה לנגזרתה
- תכונות של פונקציית מכפלה
- תכונות פונקצית מנה
- תכונות הפונקציה המעריכית
- תכונות הפונקציה הלוגריתמית
- מציאת שטח בעזרת אינטגרל מסוים
משימת המטרה:
שאלה כללית, נתון גרף הנגזרת ואסימפטוטה אופקית של הפונקציה וניגזרתה.
מדרגה 1:
נתון גרף הנגזרת. השאלה מדגישה אסימפטוטה אופקיות ותחומי חיוביות ושליליות
מדרגה 2:
נתון גרף הנגזרת. השאלה מפורטת יותר מזו של מדרגה 1. יש למצוא גם נקודות אפס ואסימפטוטה אנכית.
מדרגה 3:
שתי שאלות: (1) גזירה של פונקציות לוגריתמיות. (2) נתונים הפונקציה וגרף הפונקציה \(m(x)\). נתונים גם ארבעה גרפים שיש למצוא איזה מהם מתאים לגרף הפונקציה \(r(x)=\Large\frac{m'(x)}{m(x)}\)
שיטת הוראה:
בכיתה:
התלמידים יעבדו בזוגות, הם ייחשפו תחילה לבעיית המטרה. תוך כדי העבודה בכיתה, המורה ינחה את התלמידים להשתמש בבעיות המדרגה, בהתאם להתקדמותם, בהתאם לקשיים בהם ייתקלו במהלך עבודתם, ו/או בהתאם לבקשת התלמידים.
רצוי לערוך דיון כיתתי. יש להדגיש בדיון סרטוט סקיצה אפשרית של \(e^{f(
x)}\cdot{f'(x)}\) ושל \(\Large\frac{f'(x)}{f(x)}\) רק על פי הגרפים של \(f(x)\) ושל \(f'(x)\). כלומר סרטוט הסקיצה על פי: נקודות האפס של פונקציית המכפלה, תחומי החיוביות והשליליות שלה והאסימפטוטות האופקיות, וללא מציאת נקודות קיצון וסוגן.
שימוש ביישומונים:
אין
שיעורי בית:
סיום המשימה.
משימות מומלצות:
סעיף א
- סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה \(f(x)\).
- כמה נקודות חיתוך יש לפונקציה \(f(x)\) עם ציר ה- \(x\)?
סעיף ב
על גרף הפונקציה \(f(x)\) נסמן: נקודת המקסימום \(A(t,k)\), נקודת המינימום \(B(g,p)\)
נגדיר \(l(x)=f'(x)\cdot{e^{f(x)}}\)
- סרטטו סקיצה כללית של גרף הפונקציה \(l(x)\)
- בטאו את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה \(l(x)\) , הישר \(x=t\), הישר \(x=g\) והאסימפטוטה האופקית של \(l(x)\).
סעיף ג
נגדיר \(h(x)=\Large\frac{f'(x)}{f(x)}\).
נתון גם כי לגרף הפונקציה \(h(x)\), אסימפטוטה אופקית \(y=0\).
- סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה \(h(x)\).
- בטאו את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה \(h(x)\) לבין ציר ה- \(x\) וציר ה- \(y\).
- במידת הצורך פתרו את הבעיות במדרגה 1.
סעיף א
סרטטו את גרף הפונקציה \(t(x)\).
סעיף ב
נתונה הפונקציה: \(g(x)=t'(x)\cdot{e^{t(x)}}\).
- מצאו את האסימפטוטה של הפונקציה \(g(x)\).
- מצאו מהם תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה \(g(x)\).
סעיף ג
נתונה הפונקציה: \(k(x)=\Large\frac{t'(x)}{t(x)}\). לגרף הפונקציה \(k(x)\) אסימפטוטה אופקית \(y=0\).
מצאו מהם תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה \(k(x)\).
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 1, פתרו את בעיית המטרה.
- או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 2.
סעיף א
סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה \(p(x)\).
סעיף ב
נתון: \(q(x)=p'(x)\cdot{e^{p(x)}}\).
מצאו את נקודות האפס של הפונקציה \(q(x)\).
סעיף ג
נתונה הפונקציה: \(m(x)=\Large\frac{p'(x)}{p(x)}\).
לגרף הפונקציה \(m(x)\) אסימפטוטה \(y=0\).
- מצאו האם ישנן אסימפטוטות נוספות לפונקציה \(m(x)\).
- מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה \(m(x)\).
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 2, פתרו את בעיית המטרה.
- או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 3.
נתון גם: \(r(x)=\Large\frac{m'(x)}{m(x)}\).
1. איזה גרף מבין הגרפים הנתונים בטבלה מתאים לפונקציה \(r(x)\)? נמקו תשובתכם.
א
ב
ג
ד
2. חשבו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה \(r(x)\) לבין הישרים \(x=2\) , \(x=3\) והאסימפטוטה האופקית של הפונקציה \(r(x)\).
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 3, פתרו את בעיית המטרה.