מקומות גיאומטריים – מי אנחנו? חלק א' – אליפסה ומעגל – למורה

מקומות גיאומטריים - מי אנחנו? חלק א' - אליפסה ומעגל - למורה

יישומונים

– – – – –
- יישומון – מדרגה 1
- יישומון – מדרגות 2,3

חומר לימוד:

מציאת משוואת אליפסה לפי תיאור בניה, שמרמזת להגדרה המוכרת לפי סכום מרחקים משתי נקודות נתונות. תיאור הבניה של האליפסה כמקום גיאומטרי לא חושף באופן ישיר את סוג העקום. ניתן לפרש את הנתונים ולהסיק שקילות להגדרה. השימוש מציג באופן ברור את המהות של מקום גיאומטרי – אוסף נקודות בעלות תכונה משותפת.

כיתה:

כיתה י"ב

מבנה המשימה:

בעיית מטרה ושלוש מדרגות.

ידע קודם:

נוסחאות למרחק בין נקודות
תכונות אנך האמצעי
הגדרת האליפסה

מטרות לימודיות:

הצגת מקומות גיאומטריים באמצעות עקבות בגיאוגברה להמחשת המושג.
תיאור הבנייה של האליפסה עלול לפתות לבנות משוואות של ישרים ולמצוא נקודות חיתוך, בהתאם לתהליך פתרון בשאלה רגילה בגיאומטריה אנליטית. בשיטה זו קשה למצוא את הקשר בין שני השיעורים של נקודת החיתוך ולכן קשה למצוא את משוואת המקום המבוקש. מכאן שהמשימה מדגישה את הצורך למצוא תכונה גיאומטרית של הנקודות עבורן מחפשים את המקום הגיאומטרי – תכונה כזו שניתן לתארה במשוואה.

משימת המטרה:

בעיה כללית בה יכול התלמיד למצוא את המקום הגיאומטרי הנדרש בעזרת הגדרת האליפסה.

מדרגה 1:

בעיה מספרית בה יכול התלמיד למצוא את המקום הגיאומטרי הנדרש בעזרת הגדרת האליפסה.

מדרגה 2:

בעיה כללית המרמזת באופן כמעט ישיר על הגדרת האליפסה.

מדרגה 3:

בעיה מספרית המרמזת על הגדרת האליפסה.

שיטת הוראה:

בכיתה:

עבודה בזוגות או בקבוצות. מתחילים מבעיית המטרה. ובהתאם לרצון התלמיד או בהכוונת המורה עוברים למדרגות השונות. דיון בכיתה – יש להדגיש את היתרון למצוא תכונה גיאומטרית של הנקודות עבורן מחפשים את המקום הגיאומטרי – תכונה כזו שניתן לתארה במשוואה.

שימוש ביישומונים:

קיימים יישומונים לכל המדרגות.

שיעורי בית:

סיום המשימה ו/או משימה מקומות גיאומטריים מי אנחנו? חלק ב' – פרבולה, מעגל ואנך אמצעי

משימות מומלצות:

מקומות גיאומטריים מי אנחנו? חלק ב' – פרבולה, מעגל ואנך אמצעי

בעיית מטרה

נתון המעגל \((x+n)^2+y^2=16n^2\) , \(n>0\). מרכז המעגל בנקודה \(O\).

הנקודה \(D\) נמצאת על היקף המעגל.

\(B\) היא הנקודה \((n,0)\).

מעלים אנך אמצעי לקטע \(BD\), האנך האמצעי חותך את הרדיוס \(OD\) בנקודה \(E\).

מצאו וזהו את המקום הגיאומטרי של הנקודות \(E\) המתקבלות באופן זה.

במידת הצורך פתרו את הבעיות במדרגה 1.

מדרגה 1

נתונות הנקודות: \(C(3,0)\) , \(B(1,0)\) , \(A(-5,0)\).

הנקודה \(D\) נמצאת על המעגל ממנו רואים את \(AC\) בזווית ישרה.

\(O\) היא מרכז המעגל.

מעלים אנך אמצעי לקטע \(BD\).

האנך האמצעי חותך את הרדיוס \(OD\) בנקודה \(E\).

מצאו את משוואת המקום הגיאומטרי של הנקודות \(E\) שמתקבלות באופן זה.

השתמשו ביישומון, הזיזו את הנקודה \(D\) וצפו בעקבות של הנקודה \(E\).

חפשו תכונה גיאומטרית שמתארת את מיקומה של הנקודה \(E\). הוכיחו טענתכם.

אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 1, פתרו את בעיית המטרה.
או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 2.

יישומון

הזיזו את הנקודה \(D\) וצפו בעקבות של הנקודה \(E\).

מדרגה 2

בסרטוט נתון:

הנקודה \(D\) נמצאת על מעגל שמרכזו \(O\).

\(E\) נקודה על הרדיוס \(OD\).

מתקיים גם: \(DE=BE\).

אפיינו את העקום עליו נמצאת הנקודה \(E\): האם הוא מעגל? אליפסה?

אם הוא מעגל – היכן המרכז שלו ומהו אורך הרדיוס שלו?

אם הוא אליפסה – היכן נמצאים מוקדיה? מהו אורך הציר הראשי שלה? נמקו.

השתמשו ביישומון, הזיזו את הנקודה \(D\) וצפו בעקבות של הנקודה \(E\).

חברו את הנקודות \(B\) ו-\(E\) וחפשו תכונה גיאומטרית שמתארת את מיקומה של הנקודה \(E\).

אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 2, פתרו את בעיית המטרה.
או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 3.

יישומון

הזיזו את הנקודה \(D\) וצפו בעקבות של הנקודה \(E\).

מדרגה 3

בסרטוט נתון:

הנקודה \(D\) נמצאת על מעגל שמרכזו \(O\).

\(E\) נקודה על הרדיוס \(OD\).

מתקיים גם: \(DE=BE\).

\(B(1,0)\) , \(O(-1,0)\) , \(OD=4\).

מצאו את משוואת העקום עליו נמצאת הנקודה \(E\).
אפיינו את העקום עליו נמצאת הנקודה \(E\): האם הוא מעגל? אליפסה?
אם הוא מעגל – היכן המרכז שלו ומהו אורך הרדיוס שלו?
אם הוא אליפסה – היכן נמצאים מוקדיה? מהו אורך הציר הראשי שלה? נמקו.

תוכלו להשתמש ביישומון: הזיזו את הנקודה \(D\) וצפו בעקבות של הנקודה \(E\).

אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 3, פתרו את בעיית המטרה.

יישומון

הזיזו את הנקודה \(D\) וצפו בעקבות של הנקודה \(E\).