מציאת יחס חלוקה – יחידות ההצגה של ווקטורים - למורה
חומר לימוד:
חישוב יחס חלוקה בין קטעים נחתכים באמצעות חשבון ווקטורים – יחידות ההצגה
כיתה:
כיתה י"ב
מבנה המשימה:
בעיית מטרה, שלוש מדרגות ובעיית אתגר.
ידע קודם:
- ביטוי ווקטורים באמצעות חיבור וחיסור ווקטורים נתונים
- שימוש בפרמטר לביטוי חלק מווקטור
- שימוש בפרמטרים לביטוי ווקטור שנמצא על מישור
- שימוש בפרמטרים למציאת וקטור במרחב
מטרות לימודיות:
- תרגול השימוש בחשבון ווקטורים ובתכונת יחידות ההצגה
- אימוץ שיטה לפתרון בעיה
משימת המטרה:
בפירמידה משולשת יש להוכיח כי הקטעים המחברים קודקוד עם מפגש התיכונים בפאה שמולו נחתכים בנקודה אחת.
מדרגה 1:
גוף מרחבי, יש למצוא באיזה יחס מחלקת נקודה וקטור נתון.
מדרגה 2:
קטעים נחתכים בטרפז, מציאת יחס החלוקה.
מדרגה 3:
תיכונים נחתכים במשולש, מציאת יחס החלוקה.
משימת אתגר:
בפירמידה ישרה שבסיסה מלבן, יש למצוא יחס חלוקה של גובה הפירמידה על ידי מישור החותך אותו.
שיטת הוראה:
בכיתה:
עבודה עצמאית או בזוגות. מעבר בין המדרגות לפי בקשת התלמידים או לפי הנחית המורה.
שימוש ביישומונים:
אין יישומונים.
שיעורי בית:
סיום המשימה.
הוכיחו כי כל ארבעת הקטעים: \(SD\) , \(CE\) , \(BF\) , \(AG\) נחתכים בנקודה אחת,
ומצאו את היחס בו הם מחלקים זה את זה.
- עיברו לפתרון בעיית האתגר.
- או, במידת הצורך פתרו את הבעיות במדרגה 1.
נסמן : \(\overrightarrow{SA}=\underline{u}\) , \(\overrightarrow{SB}=\underline{v}\) , \(\overrightarrow{SC}=\underline{w}\),
הנקודה \(E\) מקיימת \( \overrightarrow{SE}=\Large\frac{1}{9}\normalsize\underline{u}+\Large\frac{1}{12}\normalsize\underline{v}+\Large\frac{1}{18}\normalsize\underline{w}\)
המשך \(SE\) חותך את המישור \(ABC\) ב-\(F\).
נסמן: \(\overrightarrow{SF}=t\overrightarrow{SE}\) , \(\overrightarrow{AF}=l\overrightarrow{AC}+k\overrightarrow{AB}\)
1.1 הביעו את \(\overrightarrow{SF}\) בשתי דרכים.
1.2 מצאו את \(t\).
1.3 חשבו את היחס \(\Large\frac{SF}{SE}\).
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 1, פתרו את בעיית המטרה.
- או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 2.
מתקיים: \(2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) , \(\overrightarrow{DE}=\Large\frac{1}{5}\normalsize\overrightarrow{DC}\)
נסמן: \(\overrightarrow{AD}=\underline{u}\) , \(\overrightarrow{BA}=\underline{v}\) , \(\overrightarrow{BF}=t\overrightarrow{BE}\) , \(\overrightarrow{AF}=m\overrightarrow{AC}\)
- בטאו את \(\overrightarrow{AF}\) באמצעות \(\underline{u}\) , \(\underline{v}\) ו-\(m\).
\(\space\) - בטאו את \(\overrightarrow{BF}\) בשתי דרכים:
פעם אחת באמצעות \(\underline{u}\) , \(\underline{v}\) ו-\(t\) .
ופעם אחת באמצעות \(\underline{u}\) , \(\underline{v}\) ו-\(m\).
\(\space\) - מצאו, באמצעות חשבון ווקטורים:
1. את היחס בו מחלקת הנקודה \(F\) את הקטע \(AC\): \(\Large\frac{AF}{FC}\)
2. את היחס בו מחלקת הנקודה \(F\) את הקטע \(BE\): \(\Large\frac{BF}{FE}\)
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 2, פתרו את בעיית המטרה.
- או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 3.
נסמן : \(\overrightarrow{AB}=\underline{u}\) , \(\overrightarrow{BC}=\underline{v}\) , \(\overrightarrow{BF}=t\overrightarrow{BE}\) , \(\overrightarrow{AF}=m\overrightarrow{AD}\)
שימו לב: המשולש הוא גוף מישורי, על כן נוכל לבטא כל קטע בו באמצעות שני ווקטורים שאינם כפל בסקלר האחד של האחר.
- בטאו את \(\overrightarrow{BF}\) באמצעות \(\underline{u}\) , \(\underline{v}\) ו-\(t\).
\(\space\) - בטאו את \(\overrightarrow{AF}\) באמצעות \(\underline{u}\) , \(\underline{v}\) ו-\(m\).
\(\space\) - בטאו את \(\overrightarrow{BF}\) בשתי דרכים:
פעם אחת באמצעות \(\underline{u}\) , \(\underline{v}\) ו-\(t\).
ופעם אחת באמצעות \(\underline{u}\) , \(\underline{v}\) ו-\(m\).
השוו את שתי ההצגות של \(\overrightarrow{BF}\) והסיקו את יחס החלוקה.
\(\space\) - מצאו, באמצעות חשבון ווקטורים, את יחסי החלוקה: \(\Large\frac{BF}{BE}\) ו-\(\Large\frac{AF}{AD}\).
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 3, פתרו את בעיית המטרה.
המישור שנקבע על-ידי הנקודות \(B\) , \(C\) , \(G\), חותך את גובה הפירמידה \(EH\).
\(H\) עקב הגובה במישור \(ABCD\).
נתון כי: \(\overrightarrow{AB}=\underline{u}\) , \(\overrightarrow{BC}=\underline{v}\) , \(\overrightarrow{EH}=\underline{w}\).
סמנו את נקודת החיתוך של המישור \(BCG\) עם הגובה \(EH\) ב-\(x\).
מטרתכם: למצוא את יחס החלוקה בין חלקי הגובה בהתאם לערכו של \(m\).
- בחרו קטע אותו תרצו לבטא בשתי דרכים שונות.
\(\space\) - הגדירו פרמטרים, ובטאו באמצעותם בשתי דרכים שונות את הקטע שבחרתם.
\(\space\)
תנו דעתכם: מהו הביטוי האלגברי לעובדה שהנקודה x נמצאת במישור \(BCG\)?
\(\space\) - השתמשו בהצגות השונות ומצאו את יחס החלוקה בין חלקי הגובה בהתאם לערכו של \(m\).
\(\space\) - תארו את מקומה של הנקודה x במישור.
אם התקשיתם, תוכלו להציב, למשל, \(m=\Large\frac{1}{2}\) , ולפתור את הבעיה במקרה פרטי זה.