פעולות על סדרה חשבונית - שתי סדרות - למורה
חומר לימוד:
ביסוס והעמקה של: הגדרת סדרה חשבונית, הוכחה שסדרה נתונה היא סדרה חשבונית, תכונות של סדרה חשבונית
כיתה:
כיתה י"א, במהלך לימוד של תכונות סדרה חשבונית
מבנה המשימה:
בעיית מטרה ושלוש מדרגות.
ידע קודם:
בנושא סדרה חשבונית:
- ידע התחלתי של הגדרת סדרה חשבונית
- תכונות של סדרה חשבונית
טכניקה אלגברית:
- פירוק לגורמים
מטרות לימודיות:
- פיתוח מיומנויות הוכחה שסדרה היא סדרה חשבונית
- הבנה כי: כדי להוכיח שסדרה היא סדרה חשבונית לא מספיק לבצע בדיקה של איברים עוקבים מסוימים אלא יש להוכיח זאת עבור איבר כללי
- פיתוח הבנה כי: כדי להוכיח שטענה כללית נכונה יש לבנות הוכחה כללית וכדי להפריך טענה כללית מספיקה דוגמא נגדית
- במקרים רבים מועיל לבדוק מקרים פרטיים כדי למצוא דוגמה להפרכה או כדי להעלות השערה שצריך להוכיח אותה. יחד עם זאת יש לבחור בזהירות את המקרים הפרטיים כך שלא יובילו להשערות מוטעות.
משימת המטרה:
האם ההשערה נכונה? בבעיה מוצג מקרה פרטי מיוחד של שתי סדרות חשבוניות ששילובן יוצר סדרה חדשה. מהמקרה הפרטי יש לנסח הכללה ולהוכיח או להפריך אותה.
מדרגה 1:
נתונות שתי סדרות חשבוניות כלליות. מורכבות מהן שתי סדרות חדשות. התלמיד נשאל האם הסדרות החדשות חשבוניות ועליו להוכיח או להפריך את טענתו.
מדרגה 2:
נתונות שתי סדרות חשבוניות כלליות. הפעם נתון הפרש מספרי של כל אחת מהסדרות. מורכבות מהן שתי סדרות חדשות. התלמיד נשאל האם הסדרות החדשות חשבוניות ועליו להוכיח או להפריך את טענתו.
מדרגה 3:
שתי שאלות, בשאלה הראשונה: נתונים זוגות של סדרות חשבוניות והתלמיד צריך לקבוע באילו מקרים הסדרה, המורכבת מהפרשי ריבועי האיברים של הסדרות, חשבונית, ובאילו לא.
בשאלה השנייה נתונות שתי סדרות חשבוניות שהפרשן . האיבר הראשון שונה. על התלמיד להוכיח כי סידרה חדשה, המורכבת משתי הסדרות, היא חשבונית.
שיטת הוראה:
בכיתה:
עבודה של התלמידים: (יחידים, זוגות או קבוצות): תלמידים מנתבים את עצמם למדרגות השונות שניתנות במשימה, ו/ או המורה מנתב את התלמידים בהתאם להיכרותו אותם, בהתאם לקשיים שמתעוררים וקצב ההתקדמות.
דיון כיתתי:
הצגת הפתרונות וההסברים על ידי התלמידים.
הדגשת הרעיונות המתמטיים שהוזכרו כאן בסעיף דגשים ומטרות.
שימוש ביישומונים:
אין.
משימות מומלצות:
בעיית מטרה
נתונה סדרה חשבונית: \(a_1\space ,\space a_2\space ,\space a_3\space ,\space a_4 \space ,…\) שהפרשה הוא \(d\).
נתונה סדרה חשבונית נוספת: \(b_1\space ,\space b_2\space ,\space b_3\space ,\space b_4 \space ,…\) שהפרשה הוא \(p\).
בונים מהן סדרה חדשה: \((a_1)^2−(b_1)^2\space,\space(a_2)^2−(b_2)^2\space,\space(a_3)^2−(b_3)^2\space,\space…. \)
האם הסדרה החדשה היא בהכרח סדרה חשבונית?
לפניכם השערתו של אייל:
על מנת לשער השערה האם הסדרה החדשה היא חשבונית, אייל בחר שתי סדרות חשבוניות ובדק את איברי הסדרה החדשה. אייל בחר את שתי הסדרות החשבוניות הבאות:
סדרה ראשונה: \(7\space,\space4\space,\space1\space,\space-2\space,\space-5\space,…\)
סדרה שניה: \(2\space,\space5\space,\space8\space,\space11\space,\space14\space,…\)
הסדרה החדשה: \(7^2-2^2\space,\space4^2-5^2\space,\space1^2-8^2\space,\space(-2)^2-11^2\space,\space(-5)^2-14^2\space,\space… \)
כלומר התקבלה הסדרה: \(45\space,\space-9\space,\space-63\space,\space-117\space,\space-171\space,\space…\)
וזו סדרה חשבונית שהפרשה \(-54\).
לכן ההשערה של אייל היא שהסדרה החדשה: \((a_1)^2-(b_1)^2\space,\space(a_2)^2-(b_2)^2\space,\space(a_3)^2-(b_3)^2\space,\space…\) היא סדרה חשבונית.
- האם ההשערה של אייל נכונה?
האם ניתן להוכיח שלכל שתי סדרות חשבוניות \(b_n\) ו- \(a_n\)
הסדרה החדשה: \((a_1)^2-(b_1)^2\space,\space(a_2)^2-(b_2)^2\space,\space(a_3)^2-(b_3)^2\space,\space…\) בהכרח חשבונית? נמקו תשובתכם. - באילו מקרים מיוחדים הסדרה החדשה תהיה חשבונית? נמקו תשובתכם.
- במידת הצורך פתרו את הבעיות במדרגה 1.
פתרונות לבעיית המטרה
- השערתו של אייל אינה נכונה, הסדרה אינה בהכרח חשבונית.
- כאשר לשתי הסדרות אותו הפרש, או כאשר ההפרשים של שתי הסדרות הם מספרים נגדיים, אז הסדרה החדשה כן תהיה חשבונית.
מדרגה 1
נתונה סדרה חשבונית: \(a_1\space ,\space a_2\space ,\space a_3\space ,\space a_4 \space ,…\) שהפרשה הוא \(d\).
נתונה סדרה חשבונית נוספת: \(b_1\space ,\space b_2\space ,\space b_3\space ,\space b_4 \space ,…\) שהפרשה הוא \(p\).
- האם הסדרה \(a_1-b_1\space,\space a_2-b_2\space,\space a_3-b_3\space,\space…\space,\space a_n-b_n\space,\space…\) היא סדרה חשבונית? נמקו תשובתכם.
- האם הסדרה \((a_1)^2\space,\space (a_2)^2\space,\space (a_3)^2\space,\space…\space,\space (a_n)^2\space,\space…\) היא סדרה חשבונית? נמקו תשובתכם.
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 1, פתרו את בעיית המטרה.
- או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 2.
מדרגה 2
- בחרו סדרה חשבונית \(a_n\), שהפרשה 5.
בחרו סדרה חשבונית נוספת: \(b_n\), שהפרשה 7.
האם הסדרה החדשה: \((a_n)^2-(b_n)^2\) היא סדרה חשבונית? נמקו תשובתכם. - נתונה סדרה חשבונית \(a_n\), שבה \(a_1=5\), הפרש הסדרה \(d\).
נתונה סדרה חשבונית \(b_n\), שבה \(b_1=2\), הפרש הסדרה \(d-\).
האם הסדרה \((a_1)^2-(b_1)^2\space ,\space (a_2)^2-(b_2)^2\space ,\space (a_3)^2-(a_3)^2\space ,\space …\) , היא סדרה חשבונית?
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 2, פתרו את בעיית המטרה.
- או, במידת הצורך, פתרו את הבעיות במדרגה 3.
\(a_n:\space 2,7,12,17,…\)
\(b_n:\space 3,-2,-7,-12,…\)
\(a_n:\space 3,6,9,12,…\)
\(b_n:\space 1,2,3,4,…\)
\(a_n:\space 1,3,5,7,…\)
\(b_n:\space -4,-2,0,2,…\)
- נתונה סדרה חשבונית: \(a_n\), הפרש הסדרה הוא \(d\) , \(a_1=5\).
נתונה סדרה חשבונית נוספת: \(b_n\), הפרש הסדרה הוא \(d\) , \(b_1=2\).
מגדירים סדרה חדשה: \(c_n=(a_n-b_n)\cdot (a_n+b_n)\)
בטאו את שלושת האיברים הראשונים של הסדרה \(c_n\) בעזרת \(d\).
האם תוכלו להניח כי סידרה זו חשבונית? נמקו תשובתכם.
- אחרי שפתרתם את הבעיות במדרגה 3, פתרו את בעיית המטרה.